Statistiques à deux variables

Le nuage monte de la gauche vers la droite : la relation linéaire est croissante, donc $r > 0$. On écarte $r = -0{,}96$.

Les points sont presque alignés, dans une bande étroite : $|r|$ est proche de $1$. Une valeur comme $0{,}45$ correspondrait à un nuage beaucoup plus dispersé.

Le coefficient de corrélation linéaire est toujours compris entre $-1$ et $1$ : la valeur $1{,}4$ est impossible.

Il y a $n = 6$ points. Somme des abscisses : $12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 117$, donc $\bar{x} = \dfrac{117}{6} = 19{,}5$.

Somme des ordonnées : $14 + 21 + 25 + 34 + 38 + 48 = 180$, donc $\bar{y} = \dfrac{180}{6} = 30$.

Le point moyen est $G(19{,}5 ; 30)$ : c'est le point par lequel passent les droites d'ajustement du chapitre.

Groupe 1 (rangs $1$, $2$, $3$) : $G_1\left(\dfrac{1+2+3}{3} ; \dfrac{2+4+3}{3}\right) = G_1(2 ; 3)$.

Groupe 2 (rangs $4$, $5$, $6$) : $G_2\left(\dfrac{4+5+6}{3} ; \dfrac{7+6+8}{3}\right) = G_2(5 ; 7)$.

Coefficient directeur de $(G_1G_2)$ : $a = \dfrac{7 - 3}{5 - 2} = \dfrac{4}{3}$. La droite passe par $G_1$ : $3 = \dfrac{4}{3} \cdot 2 + b$, donc $b = \dfrac{1}{3}$. La droite de Mayer est $y = \dfrac{4}{3}\,x + \dfrac{1}{3}$.

Contrôle : le point moyen du nuage est $G(3{,}5 ; 5)$ et $\dfrac{4}{3} \cdot 3{,}5 + \dfrac{1}{3} = 5$. La droite passe bien par $G$.

Pour $x = 7$ : $y = \dfrac{4}{3} \cdot 7 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{29}{3} \approx 9{,}67$, soit environ $97$ sorties au septième mois.

$n = 5$ ; $\bar{x} = \dfrac{25}{5} = 5$ ; $\bar{y} = \dfrac{236}{5} = 47{,}2$.

$\sum x_i y_i = 2 \cdot 30 + 3 \cdot 41 + 5 \cdot 42 + 6 \cdot 55 + 9 \cdot 68 = 1335$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{1335}{5} - 5 \cdot 47{,}2 = 31$.
$\sum x_i^2 = 155$, donc $V(X) = \dfrac{155}{5} - (5)^2 = 6$.
$\sum y_i^2 = 11\,994$, donc $V(Y) = \dfrac{11\,994}{5} - (47{,}2)^2 = 170{,}96$.

Écarts types : $\sigma_x = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ et $\sigma_y = \sqrt{170{,}96} \approx 13{,}08$.

$r = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x \, \sigma_y} = \dfrac{31}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{170{,}96}} \approx 0{,}97$.

Conclusion : $r$ est très proche de $1$, la relation linéaire entre $x$ et $y$ est forte et positive : un ajustement linéaire est pertinent.

$\sigma_x = \sqrt{V(X)} = \sqrt{400} = 20$, donc $r = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x \, \sigma_y} = \dfrac{3200}{20 \cdot 180} \approx 0{,}89$. La relation linéaire est forte et positive.

Coefficient directeur : $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(X)} = \dfrac{3200}{400} = 8$.

La droite passe par le point moyen $(96 ; 3840)$ : $3840 = 8 \cdot 96 + b$, donc $b = 3840 - 768 = 3072$. La droite est $y = 8x + 3072$.

Pour $x = 110$ : $y = 8 \cdot 110 + 3072 = 3952$ kWh. Comme $60 \le 110 \le 140$, c'est une interpolation.

Pour $x = 180$, la surface sort de l'intervalle $[60 ; 140]$ des données : c'est une extrapolation, moins fiable car rien ne garantit que la relation reste linéaire en dehors des données observées.

La valeur $r = 0{,}87$ est proche de $1$ : il existe une forte relation linéaire positive entre les deux nombres. Quand les ventes de glaces augmentent, les coups de soleil aussi.

Une corrélation n'est pas une causalité : deux variables peuvent varier ensemble sans que l'une agisse sur l'autre. Manger une glace n'expose à aucun coup de soleil.

Ici une cause commune explique les deux variables : le beau temps. Un été très ensoleillé fait vendre plus de glaces et pousse plus de monde à s'exposer au soleil.

Conclusion : le calcul de $r$ ne permet pas d'affirmer que les glaces provoquent les coups de soleil. La conclusion du journal n'est pas justifiée.

$n = 7$ ; $\bar{x} = \dfrac{21}{7} = 3$ ; $\bar{y} = \dfrac{147}{7} = 21$.

$\sum x_i y_i = 0 \cdot 11 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 18 + 3 \cdot 24 + 4 \cdot 21 + 5 \cdot 30 + 6 \cdot 28 = 525$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{525}{7} - 3 \cdot 21 = 12$.
$\sum x_i^2 = 91$, donc $V(X) = \dfrac{91}{7} - (3)^2 = 4$.
$\sum y_i^2 = 3371$, donc $V(Y) = \dfrac{3371}{7} - (21)^2 = \dfrac{284}{7}$.

$r = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x \, \sigma_y} = \dfrac{12}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{\dfrac{284}{7}}} \approx 0{,}94$.

$a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(X)} = 3$ et $b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 12$. La droite de régression de $y$ en $x$ est $y = 3x + 12$.

2022 a pour rang $7$ : $y = 3 \cdot 7 + 12 = 33$, soit environ $3\,300$ billets. Le rang $7$ est proche des données : l'extrapolation reste raisonnable si la tendance se poursuit.

$4\,000$ billets correspondent à $y = 40$ centaines. $3x + 12 > 40 \iff x > \dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$. Le premier rang entier est $10$, soit l'année $2015 + 10 = 2025$. Cette extrapolation est très éloignée des données : elle n'est fiable que si la tendance reste linéaire pendant dix ans.

Groupe 1 (rangs $0$, $1$, $2$) : $G_1(1 ; 20)$. Groupe 2 (rangs $3$, $4$, $5$) : $G_2(4 ; 32)$. Coefficient directeur : $a = \dfrac{32 - 20}{4 - 1} = 4$. La droite passe par $G_1$ : $b = 20 - 4 \cdot 1 = 16$. La droite de Mayer est $y = 4x + 16$.

$n = 6$ ; $\bar{x} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$ ; $\bar{y} = \dfrac{156}{6} = 26$.

$\sum x_i y_i = 0 \cdot 18 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 22 + 3 \cdot 29 + 4 \cdot 33 + 5 \cdot 34 = 453$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{453}{6} - 2{,}5 \cdot 26 = 10{,}5$.
$\sum x_i^2 = 55$, donc $V(X) = \dfrac{55}{6} - (2{,}5)^2 = \dfrac{35}{12}$.
$\sum y_i^2 = 4294$, donc $V(Y) = \dfrac{4294}{6} - (26)^2 = \dfrac{119}{3}$.

$a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(X)} = 3{,}6$ et $b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 17$. La droite de régression de $y$ en $x$ est $y = 3{,}6x + 17$.

$r = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x \, \sigma_y} = \dfrac{10{,}5}{\sqrt{\dfrac{35}{12}} \cdot \sqrt{\dfrac{119}{3}}} \approx 0{,}98$.

Avec la droite de Mayer, pour $x = 6$ : $y = 4 \cdot 6 + 16 = 40$. Avec la droite de régression : $y = 3{,}6 \cdot 6 + 17 = 38{,}6$. Les deux ajustements donnent des estimations proches, la droite de régression étant un peu plus basse.

Conclusion : $r$ est très proche de $1$, l'ajustement linéaire est pertinent.

La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(X)}$ et pour ordonnée à l'origine $b = \bar{y} - a\,\bar{x}$. On en tire $\bar{y} = a\,\bar{x} + b$ : le point moyen $(\bar{x} ; \bar{y})$ appartient à la droite.

$\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3$. Donc $\bar{y} = 2{,}5 \cdot 3 + 4 = 11{,}5$.

Notons $y_2$ la mesure illisible. $\bar{y} = \dfrac{6{,}6 + y_2 + 11{,}5 + 14{,}2 + 16{,}4}{5} = 11{,}5$, donc $6{,}6 + y_2 + 11{,}5 + 14{,}2 + 16{,}4 = 57{,}5$, soit $y_2 + 48{,}7 = 57{,}5$ et $y_2 = 8{,}8$.

À $6$ semaines : $y = 2{,}5 \cdot 6 + 4 = 19$ cm. Le rang $6$ est proche des données : l'estimation est raisonnable.

Avec les six coureurs : $\bar{x} = 3{,}5$ et $\bar{y} = \dfrac{17}{3}$, $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{7}{6}$, $V(X) = \dfrac{35}{12}$, $V(Y) = \dfrac{47}{9}$ et $r = \dfrac{\dfrac{7}{6}}{\sqrt{\dfrac{35}{12}} \cdot \sqrt{\dfrac{47}{9}}} \approx 0{,}30$.

Sans le sixième coureur ($n = 5$) : $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 6{,}2$, $\operatorname{cov}(x, y) = 3$, $V(X) = 2$, $V(Y) = 4{,}56$ et $r = \dfrac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4{,}56}} \approx 0{,}99$.

Droite de régression des cinq premiers coureurs : $a = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ et $b = 6{,}2 - 1{,}5 \cdot 3 = 1{,}7$, soit $y = 1{,}5x + 1{,}7$.

Le point $(6 ; 3)$ est très éloigné de la tendance des cinq autres points : c'est une donnée aberrante. Il fait chuter la valeur absolue de $r$ de $0{,}99$ à $0{,}30$ et modifie beaucoup la droite (coefficient directeur $0{,}40$ au lieu de $1{,}5$). Un seul point atypique peut masquer une relation linéaire très nette, et $r$ seul ne suffit pas : il faut aussi regarder le nuage.

Ici, la blessure explique l'écart : le point ne représente pas le même phénomène que les autres. Pour prévoir le gain d'un coureur en bonne santé, on utilisera la droite des cinq premiers coureurs, en précisant la raison de l'exclusion.