Fonctions trigonométriques

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À revoir avant : Cercle trigonométrique, Formules, Radians.

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Notion	Cours	Exercices
Cercle trigonométrique	Disponible	2
Radians	Disponible	2
Formules	Disponible	3
Équations et inéquations trigonométriques	Disponible	2
Fonctions trigonométriques	Disponible	4

Fiche de révision

Repère 1 : $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Repère 2 : $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , $\cos x \neq 0$
Repère 3 : $\cotg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , $\sin x \neq 0$
Conversion Degrés $\to$ Radians : $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$
Conversion Radians $\to$ Degrés : $\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$
Longueur d'arc $L$ : $L = r \cdot \theta$ (avec $\theta$ en radians)
Aire d'un secteur $A$ : $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ (avec $\theta$ en radians)
Addition du sinus : $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
Addition du cosinus : $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
Addition de la tangente : $\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\tg b}$ , quand les tangentes existent et le dénominateur est non nul.
Repère 1 : $\sin x = k \iff x = (-1)^n \arcsin k + n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$
Repère 2 : $\cos x = k \iff x = \pm \arccos k + 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$
Repère 3 : $\tg x = k \iff x = \arctg k + n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$
Repère 4 : familles visées : $\sin(ax + b) < k$ , $\cos(ax + b) < k$ , $\tg(ax + b) < k$
Repère 1 : amplitude $|a|$ , période $\frac{2\pi}{|b|}$ , déphasage $-\frac{c}{b}$
Repère 2 : dom $\tg = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + n\pi \mid n \in \mathbb{Z}\right\}$

Cercle trigonométrique

Sur le cercle de rayon 1, l'abscisse est cos, l'ordonnée est sin, et tg se lit sur la tangente.

À retenir

Repère 1: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Repère 2: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , $\cos x \neq 0$
Repère 3: $\cotg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , $\sin x \neq 0$

Méthode

Sens trigonométrique, angles associés, quadrants.
Ordonnée, abscisse, et les deux quotients. CE pour tg et cotg.

Exemple expliqué

Sans calculatrice, donner la valeur exacte des nombres trigonométriques suivants (les angles sont en radians) et préciser dans quel quadrant se trouve l'angle de la question d. (justifier avec le cercle trigonométrique)

a) sin(2π/3). $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ est dans le deuxième quadrant, où le sinus (ordonnée) est positif. $\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
b) cos(-π/4). Le cosinus est pair : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (le point du cercle est dans le quatrième quadrant, abscisse positive).
c) tg(7π/6). $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ est dans le troisième quadrant : $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ et $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Donc $\tg\dfrac{7\pi}{6} = \dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
d) Quadrant de 7π/6. $\pi \approx 3{,}14$ et $\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ : $\dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67$ est compris entre $\pi$ et $\dfrac{3\pi}{2}$ : troisième quadrant.

a) √3/2 ; b) √2/2 ; c) √3/3 ; d) troisième quadrant

Les Radians

D'habitude, tu mesures les angles en degrés. Mais en maths, surtout pour les fonctions, on utilise le radian. C'est une unité basée sur la longueur du cercle plutôt que sur un découpage arbitraire de 360 parties.

Un radian, c'est l'angle qui correspond à un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Par exemple, si ton rayon fait $5\text{ cm}$ et que tu parcours $5\text{ cm}$ sur le bord du cercle, tu as parcouru $1\text{ rad}$ .

C'est super pratique car ça transforme l'angle en un nombre réel. On utilise souvent $\pi$ pour s'exprimer, car un demi-tour de cercle fait exactement $\pi$ radians, soit $180^\circ$ .

À retenir

Conversion Degrés $\to$ Radians: $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$
Conversion Radians $\to$ Degrés: $\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$
Longueur d'arc $L$: $L = r \cdot \theta$ (avec $\theta$ en radians)
Aire d'un secteur $A$: $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ (avec $\theta$ en radians)

Méthode

Identifie si tu pars des degrés ou des radians.
Applique la règle de trois avec $\pi = 180^\circ$ pour convertir l'angle.
Si tu dois calculer une longueur ou une aire, vérifie bien que ton angle est en radians.
Remplace $r$ et $\theta$ dans la formule choisie.
Calcule le résultat final, souvent en gardant $\pi$ pour être précis.

Exemple expliqué

Un secteur circulaire a un rayon de $6\text{ cm}$ et un angle central de $60^\circ$ . Calcule la longueur de l'arc et l'aire du secteur.

L'angle est en degrés, on le passe en radians : $60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\text{ rad}$ . C'est la base pour la suite.
Pour la longueur de l'arc, on fait $L = 6 \cdot \frac{\pi}{3}$ . On obtient $2\pi\text{ cm}$ .
Pour l'aire, on utilise $A = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3}$ .
On calcule : $A = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 18 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi\text{ cm}^2$ . Bien vu.

L=2\pi, A=6\pi

Points à surveiller

Oublier de convertir les degrés en radians avant d'utiliser les formules de longueur ou d'aire.
Confondre les deux formules de conversion (inverser $\pi$ et $180$ ).
Vouloir remplacer $\pi$ par $3{,}14$ trop tôt, ce qui crée des erreurs d'arrondi.

Formules trigonométriques

Les valeurs de sinus et de cosinus d’un angle dépendent de sa position sur le cercle trigonométrique. Pour un angle quelconque, $\sin^2 a+\cos^2 a=1$ . Cette identité relie les deux coordonnées du point du cercle. Elle permet de remplacer un carré par $1$ moins l’autre carré, sans connaître la valeur de l’angle.

Une somme d’angles ne se distribue pas dans le sinus : $\sin(a+b)$ n’est généralement pas égal à $\sin a+\sin b$ . Les formules d’addition combinent les sinus et les cosinus des deux angles. Pour une différence, remplace $b$ par $-b$ , puis utilise $\sin(-b)=-\sin b$ et $\cos(-b)=\cos b$ .

Les formules de duplication viennent des formules d’addition en posant $b=a$ . Ainsi $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ et $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ . Choisis la forme qui contient les données de l’exercice. La tangente exige aussi que les cosinus et les dénominateurs utilisés soient non nuls.

À retenir

Addition du sinus: $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
Addition du cosinus: $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
Addition de la tangente: $\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\tg b}$ , quand les tangentes existent et le dénominateur est non nul.

Méthode

Décompose l’angle en deux angles dont les valeurs sont connues.
Choisis la formule correspondant à sinus, cosinus ou tangente.
Remplace chaque valeur, garde les fractions exactes et simplifie.
Vérifie le signe avec le quadrant et les conditions d’existence.

Exemple expliqué

Calcule exactement $\sin(75^\circ)$ en écrivant $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ .

$\sin(75^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$ .
Les valeurs sont $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ , $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin30^\circ=\frac12$ .
La somme devient $\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}$ . L’angle est dans le premier quadrant : le résultat doit être positif.

$\sin(75^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .

Points à surveiller

Confondre $\sin(2a)$ et $2\sin a$ .
Utiliser les degrés dans une étape et les radians dans une autre.

Équations et inéquations trigonométriques

On se ramène à sin, cos ou tg d'un angle, puis on écrit la famille de solutions. Les inéquations utiles à l'analyse restent simples.

À retenir

Repère 1: $\sin x = k \iff x = (-1)^n \arcsin k + n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$
Repère 2: $\cos x = k \iff x = \pm \arccos k + 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$
Repère 3: $\tg x = k \iff x = \arctg k + n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$
Repère 4: familles visées : $\sin(ax + b) < k$ , $\cos(ax + b) < k$ , $\tg(ax + b) < k$

Méthode

On n'oublie pas le + nπ ou + 2nπ, et la CE de tg.
On lit l'arc sur le cercle, puis on l'écrit en intervalle modulo la période.

Exemple expliqué

Résoudre chacune des équations suivantes dans l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ . (justifier avec le cercle trigonométrique)

a). $2\sin x - 1 = 0 \iff \sin x = \dfrac{1}{2}$ . Sur le cercle, les points d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ correspondent à $x = \dfrac{\pi}{6}$ et à $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ . $S = \left\{\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right\}$ .
b). $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : les points d'abscisse $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont dans les quadrants 2 et 3, avec l'angle de référence $\dfrac{\pi}{4}$ : $x = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ et $x = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}$ . $S = \left\{\dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right\}$ .
c). Condition d'existence : $\cos x \neq 0$ , donc $x \neq \dfrac{\pi}{2}$ et $x \neq \dfrac{3\pi}{2}$ . $\tg x = \sqrt{3}$ a pour solution $x = \dfrac{\pi}{3}$ et, comme la période de la tangente est $\pi$ , $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}$ . Aucune n'est interdite. $S = \left\{\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3}\right\}$ .

a) {π/6 ; 5π/6} ; b) {3π/4 ; 5π/4} ; c) {π/3 ; 4π/3}

Fonctions trigonométriques

x ↦ a sin(bx + c) : amplitude, période, déphasage. Le graphique se lit avant le calcul.

À retenir

Repère 1: amplitude $|a|$ , période $\frac{2\pi}{|b|}$ , déphasage $-\frac{c}{b}$
Repère 2: dom $\tg = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + n\pi \mid n \in \mathbb{Z}\right\}$

Méthode

Lire a, b et c sur x ↦ a sin(bx + c) et sur le graphique.
Une période suffit pour sin et cos. tg a une asymptote par période.
FESeC : a ↔ élongation max, b ↔ pulsation, T = 2π/b, fréquence = 1/T.

Exemple expliqué

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1$ .

Forme canonique. On écrit $f(x) = 3\sin\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{8}\right)\right) + 1$ , de la forme $a\sin\big(b(x + c)\big) + d$ avec $a = 3$ , $b = 2$ , $c = -\dfrac{\pi}{8}$ et $d = 1$ .
a) Amplitude. L'amplitude est $|a| = 3$ .
b) Période. La période est $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ .
c) Déphasage. Le graphique est celui de $x \mapsto 3\sin(2x)$ translaté horizontalement de $\dfrac{\pi}{8}$ vers la droite (déphasage $-c = \dfrac{\pi}{8}$ ) et verticalement de $1$ vers le haut.
d) Extrema. Le sinus varie entre $-1$ et $1$ : $f$ varie entre $3 \cdot (-1) + 1 = -2$ et $3 \cdot 1 + 1 = 4$ . Le maximum est $4$ , le minimum est $-2$ .

amplitude 3 ; période π ; déphasage π/8 ; maximum 4 et minimum -2

Exercice 1

Convertir les mesures d'angles suivantes. (justifier)

a.
Exprimer $150^\circ$ en radians (valeur exacte).
b.
Exprimer $\dfrac{7\pi}{12}$ rad en degrés.
c.
Exprimer $2$ rad en degrés (au centième près).

Correction

a) 150° en radians
On utilise $\pi \text{ rad} = 180^\circ$ , donc $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ rad. $150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180}$ rad $= \dfrac{5\pi}{6}$ rad.
b) 7π/12 rad en degrés
$1$ rad $= \dfrac{180^\circ}{\pi}$ , donc $\dfrac{7\pi}{12}$ rad $= \dfrac{7\pi}{12} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 105^\circ$ .
c) 2 rad en degrés
$2$ rad $= 2 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 114{,}59^\circ$ .

a) 5π/6 rad ; b) 105° ; c) 114,59°

Barème de cet exercice

a : Relation π rad = 180 degrés utilisée (1 point)
a : Résultat 5π/6 (1 point)
b : Conversion inverse (multiplication par 180 / π) : 105 degrés (1 point)
c : 2 rad = 114,59 degrés (au centième) (1 point)

Exercice 2

a.
$\sin\dfrac{2\pi}{3}$
b.
$\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
c.
$\tg\dfrac{7\pi}{6}$
d.
Dans quel quadrant se trouve l'angle $\dfrac{7\pi}{6}$ ?

Correction

a) sin(2π/3)
$\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ est dans le deuxième quadrant, où le sinus (ordonnée) est positif. $\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
b) cos(-π/4)
Le cosinus est pair : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (le point du cercle est dans le quatrième quadrant, abscisse positive).
c) tg(7π/6)
$\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ est dans le troisième quadrant : $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ et $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Donc $\tg\dfrac{7\pi}{6} = \dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
d) Quadrant de 7π/6
$\pi \approx 3{,}14$ et $\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ : $\dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67$ est compris entre $\pi$ et $\dfrac{3\pi}{2}$ : troisième quadrant.

a) √3/2 ; b) √2/2 ; c) √3/3 ; d) troisième quadrant

Barème de cet exercice

a : Angle associé de 2π/3 (π - π/3) et signe du sinus (1 point)
a : Valeur √3/2 (1 point)
b : Parité du cosinus et valeur √2/2 (1 point)
c : Valeurs de sin et cos de 7π/6 (angle associé π + π/6) (1 point)
c : Quotient : tg(7π/6) = √3/3 (1 point)
d : Troisième quadrant justifié (entre π et 3π/2) (1 point)

Exercice 3

L'aiguille des minutes d'une horloge murale mesure 12 cm. Entre 14 h 00 et 14 h 35, son extrémité décrit un arc de cercle centré sur l'axe de l'horloge.

a.
Quel angle, en radians, l'aiguille a-t-elle balayé ?
b.
Quelle distance l'extrémité de l'aiguille a-t-elle parcourue ? (en cm, au centième près)
c.
Quelle est l'aire du secteur balayé par l'aiguille ? (en cm², au centième près)

Correction

Angle balayé
En $60$ minutes, l'aiguille tourne de $2\pi$ rad. En $35$ minutes, elle tourne de $\theta = \dfrac{35}{60} \cdot 2\pi = \dfrac{7\pi}{6}$ rad (règle de trois).
Distance parcourue par l'extrémité
Longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ pour un angle $\theta$ en radians : $\ell = r\,\theta = 12 \cdot \dfrac{7\pi}{6} = 14\pi \approx 43{,}98$ cm.
Aire balayée
Aire d'un secteur circulaire : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,r^2\,\theta = \dfrac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \dfrac{7\pi}{6} = 84\pi \approx 263{,}89$ cm².

7π/6 rad ; 43,98 cm ; 263,89 cm²

Barème de cet exercice

a : Angle balayé en radians (règle de trois) : 7π/6 (1 point)
b : Formule de la longueur d'arc r × θ écrite (1 point)
b : Distance 14π ≈ 43,98 cm (1 point)
c : Formule de l'aire du secteur (1/2) r² θ écrite (1 point)
c : Aire 84π ≈ 263,89 cm² (1 point)

Exercice 4

Sachant que $\sin x = \dfrac{3}{5}$ et que $x \in \left]\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right[$ , calculer, sans déterminer $x$ :

a.
$\cos x$
b.
$\tg x$
c.
$\cos(\pi - x)$

Correction

a) cos x
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ , donc $\cos x = \pm\dfrac{4}{5}$ . Comme $x \in \left]\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right[$ (deuxième quadrant), le cosinus est négatif : $\cos x = -\dfrac{4}{5}$ .
b) tg x
$\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$ .
c) cos(π - x)
Angles supplémentaires : $\cos(\pi - x) = -\cos x = \dfrac{4}{5}$ (et $\sin(\pi - x) = \sin x = \dfrac{3}{5}$ ). Le point du cercle correspondant à $\pi - x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ordonnées.

a) -4/5 ; b) -3/4 ; c) 4/5

Barème de cet exercice

a : Utilise sin² x + cos² x = 1 : cos² x = 16/25 (1 point)
a : Choisit le signe négatif grâce au deuxième quadrant : cos x = -4/5 (1 point)
b : tg x = sin x / cos x = -3/4 (1 point)
c : Angle associé π - x : cos(π - x) = -cos x = 4/5 (1 point)

Exercice 5

Résoudre chacune des équations suivantes dans l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ . (justifier avec le cercle trigonométrique)

a.
$2\sin x - 1 = 0$
$2\sin x-1=0\quad x\in[0;2\pi]$
b.
$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\quad x\in[0;2\pi]$
c.
$\tg x = \sqrt{3}$
$\tg x=\sqrt{3}\quad x\in[0;2\pi]$

Correction

a)
$2\sin x - 1 = 0 \iff \sin x = \dfrac{1}{2}$ . Sur le cercle, les points d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ correspondent à $x = \dfrac{\pi}{6}$ et à $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ . $S = \left\{\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right\}$ .
b)
$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : les points d'abscisse $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont dans les quadrants 2 et 3, avec l'angle de référence $\dfrac{\pi}{4}$ : $x = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ et $x = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}$ . $S = \left\{\dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right\}$ .
c)
Condition d'existence : $\cos x \neq 0$ , donc $x \neq \dfrac{\pi}{2}$ et $x \neq \dfrac{3\pi}{2}$ . $\tg x = \sqrt{3}$ a pour solution $x = \dfrac{\pi}{3}$ et, comme la période de la tangente est $\pi$ , $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}$ . Aucune n'est interdite. $S = \left\{\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3}\right\}$ .

a) {π/6 ; 5π/6} ; b) {3π/4 ; 5π/4} ; c) {π/3 ; 4π/3}

Barème de cet exercice

a : Isole sin x = 1/2 (1 point)
a : Solutions π/6 et 5π/6 lues sur le cercle (1 point)
b : Angle de référence π/4 et quadrants 2 et 3 pour cos x = -√2/2 (1 point)
b : Solutions 3π/4 et 5π/4 (1 point)
c : Condition d'existence de tg (x différent de π/2 et 3π/2) (1 point)
c : Solutions π/3 et 4π/3 (période π de la tangente) (1 point)

Exercice 6

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 1$ .

a.
Amplitude de $f$
b.
Période de $f$
c.
Déphasage de $f$ (translation horizontale) par rapport à $x \mapsto 3\sin(2x) + 1$
d.
Valeur maximale et valeur minimale de $f$

Correction

Forme canonique
On écrit $f(x) = 3\sin\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{8}\right)\right) + 1$ , de la forme $a\sin\big(b(x + c)\big) + d$ avec $a = 3$ , $b = 2$ , $c = -\dfrac{\pi}{8}$ et $d = 1$ .
a) Amplitude
L'amplitude est $|a| = 3$ .
b) Période
La période est $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ .
c) Déphasage
Le graphique est celui de $x \mapsto 3\sin(2x)$ translaté horizontalement de $\dfrac{\pi}{8}$ vers la droite (déphasage $-c = \dfrac{\pi}{8}$ ) et verticalement de $1$ vers le haut.
d) Extrema
Le sinus varie entre $-1$ et $1$ : $f$ varie entre $3 \cdot (-1) + 1 = -2$ et $3 \cdot 1 + 1 = 4$ . Le maximum est $4$ , le minimum est $-2$ .

amplitude 3 ; période π ; déphasage π/8 ; maximum 4 et minimum -2

Barème de cet exercice

c : Met la fonction sous la forme a sin(b(x + c)) + d (1 point)
a : Amplitude 3 (1 point)
b : Période 2π / 2 = π avec la formule (1 point)
c : Déphasage π/8 (translation vers la droite) (1 point)
d : Maximum 4 et minimum -2 justifiés par les bornes du sinus (1 point)

Exercice 7

Une grande roue de 30 m de diamètre a son axe à 20 m au-dessus du sol. Elle fait un tour en 8 minutes. À l'instant $t = 0$ (en minutes), une nacelle est à la hauteur de l'axe et monte. On modélise la hauteur $h(t)$ de la nacelle, en mètres, par $h(t) = a\sin(bt) + d$ avec $a > 0$ et $b > 0$ .

a.
Déterminer $a$ .
b.
Déterminer $d$ .
c.
Déterminer $b$ . (justifier avec la période)
d.
Quelle est la hauteur de la nacelle à l'instant $t = 2$ minutes ?

Correction

Amplitude et valeur moyenne
La hauteur oscille autour de la hauteur de l'axe, avec un écart maximal égal au rayon de la roue : $a = 15$ (rayon $= \dfrac{30}{2}$ ) et $d = 20$ .
Pulsation
Un tour dure $8$ min, donc la période est $8$ : $\dfrac{2\pi}{b} = 8$ , soit $b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4}$ . On vérifie : $h(0) = 15\sin 0 + 20 = 20$ (hauteur de l'axe) et la nacelle monte car $h$ est croissante en $0$ .
Hauteur à t = 2
$h(t) = 15\sin\left(\dfrac{\pi}{4}t\right) + 20$ . À $t = 2$ min : $h(2) = 15\sin\dfrac{\pi}{2} + 20 = 35$ m. C'est la hauteur maximale ( $20 + 15$ ), atteinte au quart de tour.

a = 15 ; d = 20 ; b = π/4 ; h(2) = 35 m

Barème de cet exercice

a : Amplitude a = 15 (rayon de la roue) (1 point)
b : Valeur moyenne d = 20 (hauteur de l'axe) (1 point)
c : Utilise la période : 2π / b = 8 (1 point)
c : Résultat b = π/4 (1 point)
d : h(2) = 35 m justifié (1 point)

Exercice 8

Résoudre dans l'intervalle $[0 ; \pi]$ l'équation $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ . (justifier)

\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\quad x\in[0;\pi]

Correction

Changement de variable et intervalle de t
On pose $t = 2x - \dfrac{\pi}{3}$ . Si $x \in [0 ; \pi]$ , alors $2x \in [0 ; 2\pi]$ et $t \in \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{3}\right]$ .
Solutions en t
$\cos t = \dfrac{1}{2} \iff t = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $t = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ . Dans $\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{3}\right]$ : $t = -\dfrac{\pi}{3}$ ; $t = \dfrac{\pi}{3}$ ; $t = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ .
Retour à x
On revient à $x = \dfrac{t + \pi/3}{2}$ : $t = -\dfrac{\pi}{3}$ donne $x = 0$ ; $t = \dfrac{\pi}{3}$ donne $x = \dfrac{\pi}{3}$ ; $t = \dfrac{5\pi}{3}$ donne $x = \pi$ .
Conclusion
Contrôle : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ ; $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ ; $\cos\left(2\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ . $S = \left\{0 ; \dfrac{\pi}{3} ; \pi\right\}$ .

S = {0 ; π/3 ; π}

Barème de cet exercice

Change de variable t = 2x - π/3 et détermine l'intervalle de t (1 point)
Résout cos t = 1/2 : t = ±π/3 + 2kπ (1 point)
Sélectionne les trois solutions de t dans l'intervalle [-π/3 ; 5π/3] (1 point)
Revient à x pour chaque solution (1 point)
Ensemble des solutions {0 ; π/3 ; π} avec les bornes 0 et π comprises (1 point)

Exercice 9

Dans une station météo, la température moyenne mensuelle est modélisée (données fictives) par $T(t) = 7{,}5\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 10{,}5$ , en degrés Celsius, où $t$ est le numéro du mois ( $t = 1$ pour janvier, $t = 12$ pour décembre).

a.
Quelle est la période de $T$ ?
b.
Quelles sont les températures moyennes maximale et minimale prévues par le modèle ?
c.
Quel est le numéro du mois le plus chaud ?
d.
Pour quelles valeurs de $t \in [1 ; 12]$ a-t-on $T(t) = 14{,}25$ ? (justifier)

Correction

a) Période
La période est $\dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12$ : le modèle se répète chaque année (12 mois).
b) Températures extrêmes
Comme $-1 \le \sin \le 1$ , $T$ varie entre $10{,}5 - 7{,}5 = 3$ et $10{,}5 + 7{,}5 = 18$ . La température maximale est $18\,^\circ$ C, la minimale $3\,^\circ$ C.
c) Mois le plus chaud
Le maximum est atteint quand $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t - 4)\right) = 1$ , c'est-à-dire $\dfrac{\pi}{6}(t - 4) = \dfrac{\pi}{2}$ , soit $t - 4 = 3$ et $t = 7$ : c'est juillet.
d) Mois où T = 14,25
$T(t) = 14{,}25 \iff 7{,}5\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t - 4)\right) = 3{,}75 \iff \sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t - 4)\right) = \dfrac{1}{2}$ . Posons $u = \dfrac{\pi}{6}(t - 4)$ : pour $t \in [1 ; 12]$ , $u \in \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{4\pi}{3}\right]$ . $\sin u = \dfrac{1}{2} \iff u = \dfrac{\pi}{6}$ ou $u = \dfrac{5\pi}{6}$ dans cet intervalle. Alors $t - 4 = 1$ ou $t - 4 = 5$ : $t = 5$ (mai) ou $t = 9$ (septembre).

a) 12 mois ; b) 18 et 3 ; c) juillet ; d) t = 5 et t = 9

Barème de cet exercice

a : Période 2π / (π/6) = 12 (1 point)
b : Utilise les bornes du sinus : maximum 18 et minimum 3 (2 points)
c : Résout sin(π(t - 4)/6) = 1 : t = 7 (juillet) (1 point)
d : Ramène l'équation à sin u = 1/2 avec l'intervalle de u (1 point)
d : Solutions u = π/6 et u = 5π/6 (1 point)
d : Retour à t : t = 5 et t = 9 (1 point)

Exercice 10

Dans un port de la mer du Nord, la hauteur d'eau, en mètres, à l'instant $t$ (en heures écoulées après une marée moyenne montante) est modélisée par $h(t) = 4 + 2{,}5\sin\left(\dfrac{5\pi}{31}\,t\right)$ .
Un navire ne peut entrer au port que si la hauteur d'eau dépasse $5{,}25$ m. On étudie un cycle de marée complet.

a.
Résoudre l'équation $h(t) = 5{,}25$ pour $t \in [0 ; 12{,}4]$ (valeurs exactes).
$4+\frac{5}{2}\sin(\frac{5\pi}{31}t)=\frac{21}{4}\quad t\in[0;12{,}4]$
b.
Pendant combien d'heures, au cours d'un cycle de marée, le navire peut-il entrer au port ? (au centième près)

Correction

Période
La période est $\dfrac{2\pi}{5\pi/31} = \dfrac{62}{5} = 12{,}4$ heures : un cycle de marée est l'intervalle $t \in [0 ; 12{,}4]$ .
Équation h(t) = 5,25
$h(t) = 5{,}25 \iff 2{,}5\sin\left(\dfrac{5\pi}{31}t\right) = 1{,}25 \iff \sin\left(\dfrac{5\pi}{31}t\right) = \dfrac{1}{2}$ . Posons $u = \dfrac{5\pi}{31}t$ : pour $t \in [0 ; 12{,}4]$ , $u \in [0 ; 2\pi]$ . $\sin u = \dfrac{1}{2} \iff u = \dfrac{\pi}{6}$ ou $u = \dfrac{5\pi}{6}$ .
Solutions en t
Retour à $t = \dfrac{31}{5\pi}\,u$ : $u = \dfrac{\pi}{6}$ donne $t_1 = \dfrac{31}{30} \approx 1{,}03$ h ; $u = \dfrac{5\pi}{6}$ donne $t_2 = \dfrac{31}{6} \approx 5{,}17$ h.
Quand le niveau dépasse 5,25 m
Sur le cercle, $\sin u > \dfrac{1}{2}$ pour $u \in \left]\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right[$ , donc $h(t) > 5{,}25$ pour $t \in \left]\dfrac{31}{30} ; \dfrac{31}{6}\right[$ . Vérification avec $t = 3$ : $h(3) \approx 6{,}0 > 5{,}25$ et avec $t = 0$ : $h(0) = 4 < 5{,}25$ .
Durée
Durée : $t_2 - t_1 = \dfrac{31}{6} - \dfrac{31}{30} = \dfrac{124}{30} = \dfrac{62}{15} \approx 4{,}13$ h, soit environ $4$ h $8$ min. Sur un cycle de $12{,}4$ h, cela représente environ $\dfrac{62/15}{62/5} = \dfrac{1}{3}$ du temps.

t = 31/30 h et t = 31/6 h ; environ 4,13 h (4 h 08 min) par cycle

Barème de cet exercice

a : Période 12,4 h et intervalle d'un cycle (1 point)
a : Ramène l'équation à sin u = 1/2 avec u = 5πt/31 dans [0 ; 2π] (1 point)
a : Solutions u = π/6 et u = 5π/6 (1 point)
a : Retour à t : 31/30 et 31/6 (1 point)
b : Lit sur le cercle (ou le graphique) que h > 5,25 entre les deux solutions (1 point)
b : Durée 62/15 ≈ 4,13 h (1 point)

Exercice 11

Calculer la valeur exacte de $\cos(15^\circ)$ en utilisant une formule d’addition ou de différence. Justifier les substitutions et vérifier le signe.

\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)

Correction

Décomposition
$15^\circ=45^\circ-30^\circ$ et $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ .
Valeurs connues
$\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ , $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin30^\circ=\frac12$ .
Calcul et contrôle
$\cos15^\circ=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ . Le résultat est positif, comme le cosinus d’un angle du premier quadrant.

$\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .

Barème de cet exercice

Décomposition 45° − 30° et formule correcte du cosinus de la différence (1 point)
Substitution des quatre valeurs remarquables (1 point)
Calcul exact et simplification (1 point)
Contrôle du signe dans le premier quadrant (1 point)

Exercice 12

Un angle $a$ appartient au premier quadrant et $\sin a=\frac35$ . Sans calculer $a$ , déterminer exactement $\cos a$ , $\sin(2a)$ et $\cos(2a)$ . Justifier le signe du cosinus.

a.
Déterminer $\cos a$ .
b.
Déterminer $\sin(2a)$ .
c.
Déterminer $\cos(2a)$ .

Correction

a) Cosinus de l’angle
$\cos^2a=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}$ . Le premier quadrant impose $\cos a>0$ , donc $\cos a=\frac45$ .
b) Sinus de l’angle double
$\sin(2a)=2\sin a\cos a=2\times\frac35\times\frac45=\frac{24}{25}$ .
c) Cosinus de l’angle double
$\cos(2a)=1-2\sin^2a=1-\frac{18}{25}=\frac7{25}$ . On peut contrôler avec $\cos^2a-\sin^2a=\frac{16-9}{25}$ .

$\cos a=\frac45$ , $\sin(2a)=\frac{24}{25}$ et $\cos(2a)=\frac7{25}$ .

Barème de cet exercice

a : Identité sin² a + cos² a = 1 et calcul de cos² a (1 point)
a : Choix du signe positif et résultat 4/5 (1 point)
b : Formule sin(2a) = 2 sin a cos a (1 point)
b : Calcul 24/25 (1 point)
c : Formule correcte de cos(2a) (1 point)
c : Calcul 7/25 (1 point)

Exercice 13

Un élève applique $\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\tg b}$ à $a=b=45^\circ$ et écrit : « Le dénominateur vaut zéro, donc la tangente vaut zéro. » Expliquer l’erreur et préciser les conditions d’utilisation de la formule.

Correction

Vérifier le dénominateur
$\tg45^\circ=1$ , donc le numérateur vaut $2$ et le dénominateur $0$ . $2/0$ n’est pas défini.
Contrôler avec l’angle
$45^\circ+45^\circ=90^\circ$ et $\cos90^\circ=0$ . La définition de la tangente confirme qu’elle n’existe pas.
Énoncer les conditions
Il faut $\cos a\ne0$ , $\cos b\ne0$ et $1-\tg a\tg b\ne0$ . Dans ces conditions, la formule est utilisable.

Le résultat n’est pas zéro : la tangente de 90° est indéfinie. La formule doit être accompagnée de ses conditions d’existence.

Barème de cet exercice

Identifie l’impossibilité de diviser par zéro (1 point)
Relie la somme à 90° et au cosinus nul (1 point)
Précise les conditions d’existence de tan a et tan b (1 point)
Précise le dénominateur non nul dans la formule (1 point)

Programme et consignes

Les consignes dépendent du cycle. Vérifie celles de ton inscription ; les exemples officiels ne couvrent pas tout le programme.