Lois de probabilités

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À revoir avant : Probabilités conditionnelles, Variables aléatoires, Loi binomiale.

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Notion	Cours	Exercices
Variables aléatoires	Disponible	5
Loi binomiale	Disponible	3
Loi normale	Disponible	4

Fiche de révision

Repère 1 : $E(X) = \sum x_i \, p_i$
Repère 2 : $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
Repère 3 : $\sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$
Repère 1 : $P(X = k) = C_n^k \, p^k (1 - p)^{n - k}$
Repère 2 : $E(X) = np$
Repère 3 : $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$
Repère 1 : $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$
Repère 2 : $P(a \le X \le b)$ = aire sous la courbe
Repère 3 : les formules de $\mu$ et $\sigma$ ne sont pas à démontrer

Variables aléatoires

Une variable aléatoire prend des valeurs numériques. On calcule l'espérance et l'écart-type.

À retenir

Repère 1: $E(X) = \sum x_i \, p_i$
Repère 2: $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
Repère 3: $\sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$

Méthode

Tableau valeurs / probabilités, somme 1.
Moyenne pondérée, puis dispersion.

Exemple expliqué

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ . Sa loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous, où $a$ est un nombre réel.

$x_i$	0	1	2	3
$P(X = x_i)$	0,1	0,4	$a$	0,2

a) Valeur de $a$ . Les probabilités d'une loi de probabilité ont pour somme $1$ : $0{,}1 + 0{,}4 + a + 0{,}2 = 1$ , donc $a = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .
b) Espérance mathématique. $E(X) = \sum x_i \, p_i = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}6$ .

a) $a = 0{,}3$ ; b) $E(X) = 1{,}6$

Loi binomiale

n épreuves de Bernoulli indépendantes, probabilité p de succès. On compte le nombre de succès.

À retenir

Repère 1: $P(X = k) = C_n^k \, p^k (1 - p)^{n - k}$
Repère 2: $E(X) = np$
Repère 3: $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$

Méthode

Deux issues, indépendance, p constant, n fixé.
Coefficient binomial, puis espérance et écart-type sans refaire la somme.

Exemple expliqué

Une seule des quatre situations ci-dessous est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale.

Laquelle ? Justifier en identifiant l'épreuve de Bernoulli et les paramètres, et expliquer pourquoi les autres situations ne conviennent pas.

Ce qu'est une loi binomiale. $X$ suit une loi binomiale $B(n ; p)$ lorsque $X$ compte les succès d'un schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues (succès de probabilité $p$ , échec de probabilité $1 - p$ ), avec $n$ fixé à l'avance.
La bonne situation. Lancer 8 fois un dé : les lancers sont indépendants, chacun a deux issues (obtenir un 6 avec $p = \dfrac{1}{6}$ , ou non), $n = 8$ est fixé. Donc $X \sim B\left(8 ; \dfrac{1}{6}\right)$ .
Pourquoi pas les autres. Tirage sans remise : la probabilité de tirer une boule rouge change à chaque tirage, les épreuves ne sont pas indépendantes (ce serait une loi hypergéométrique, hors programme). Lancer jusqu'à obtenir un 6 : le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance. Un seul lancer : il n'y a pas une suite d'épreuves à deux issues, $X$ a six valeurs équiprobables (loi uniforme).

On lance 8 fois un dé équilibré ; X est le nombre de 6 obtenus.

Loi normale

Courbe de Gauss, paramètres espérance et écart-type. On lit une probabilité comme une aire, souvent dans une table ou sur la calculatrice. La binomiale s'approche d'une normale dans des conditions précises.

À retenir

Repère 1: $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$
Repère 2: $P(a \le X \le b)$ = aire sous la courbe
Repère 3: les formules de $\mu$ et $\sigma$ ne sont pas à démontrer

Méthode

La probabilité est l'aire, pas l'ordonnée de la courbe.
μ centre, σ étale. Plusieurs courbes sur le même repère.

Exemple expliqué

La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 5. La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 10. On trace les courbes de Gauss de $X$ et de $Y$ dans le même repère.

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ? Justifier.

Rôle des paramètres. Pour la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ , la courbe de Gauss est symétrique par rapport à la droite $x = \mu$ ; plus $\sigma$ est grand, plus la courbe est étalée.
Application. $X$ et $Y$ ont la même moyenne $50$ : leurs courbes ont le même axe de symétrie $x = 50$ . L'écart type de $Y$ ( $10$ ) est plus grand que celui de $X$ ( $5$ ) : la courbe de $Y$ est plus étalée.
Hauteur. L'aire totale sous chaque courbe vaut $1$ . Une courbe plus étalée doit donc être moins haute : le maximum de la courbe de $Y$ est plus bas que celui de $X$ (il vaut $\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$ , soit environ $0{,}08$ pour $X$ et $0{,}04$ pour $Y$ ).

Les deux courbes ont le même axe de symétrie ; la courbe de Y est plus étalée et moins haute que celle de X.

Exercice 1

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ . Sa loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous, où $a$ est un nombre réel.

$x_i$	0	1	2	3
$P(X = x_i)$	0,1	0,4	$a$	0,2

a.
Déterminer la valeur de $a$ .
$a = 1 - 0{,}1 - 0{,}4 - 0{,}2$
b.
Calculer l'espérance mathématique de $X$ .
$E(X) = 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}2$

Correction

a) Valeur de $a$
Les probabilités d'une loi de probabilité ont pour somme $1$ : $0{,}1 + 0{,}4 + a + 0{,}2 = 1$ , donc $a = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .
b) Espérance mathématique
$E(X) = \sum x_i \, p_i = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}6$ .

a) $a = 0{,}3$ ; b) $E(X) = 1{,}6$

Barème de cet exercice

a : Utiliser que la somme des probabilités d'une loi vaut 1 (1 point)
a : $a = 1 - (0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}2) = 0{,}3$ (1 point)
b : Écrire $E(X) = \sum x_i \, p_i$ (1 point)
b : Calculer $E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 = 1{,}6$ (1 point)

Exercice 2

Une seule des quatre situations ci-dessous est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale.

Laquelle ? Justifier en identifiant l'épreuve de Bernoulli et les paramètres, et expliquer pourquoi les autres situations ne conviennent pas.

On lance 8 fois un dé équilibré ; X est le nombre de 6 obtenus.
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire 3 boules successivement sans remise ; X est le nombre de boules rouges obtenues.
On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6 ; X est le nombre de lancers effectués.
On lance une seule fois un dé équilibré ; X est le numéro de la face obtenue.

Correction

Ce qu'est une loi binomiale
$X$ suit une loi binomiale $B(n ; p)$ lorsque $X$ compte les succès d'un schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues (succès de probabilité $p$ , échec de probabilité $1 - p$ ), avec $n$ fixé à l'avance.
La bonne situation
Lancer 8 fois un dé : les lancers sont indépendants, chacun a deux issues (obtenir un 6 avec $p = \dfrac{1}{6}$ , ou non), $n = 8$ est fixé. Donc $X \sim B\left(8 ; \dfrac{1}{6}\right)$ .
Pourquoi pas les autres
Tirage sans remise : la probabilité de tirer une boule rouge change à chaque tirage, les épreuves ne sont pas indépendantes (ce serait une loi hypergéométrique, hors programme). Lancer jusqu'à obtenir un 6 : le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance. Un seul lancer : il n'y a pas une suite d'épreuves à deux issues, $X$ a six valeurs équiprobables (loi uniforme).

On lance 8 fois un dé équilibré ; X est le nombre de 6 obtenus.

Barème de cet exercice

Choisir la première situation (1 point)
Justifier : deux issues (6 ou pas 6), $p = \dfrac{1}{6}$ constant, 8 épreuves indépendantes, $n$ fixé, donc $X \sim B(8 ; \dfrac{1}{6})$ (2 points)
Écarter les autres : sans remise (épreuves dépendantes), $n$ non fixé, une seule épreuve à six issues (1 point)

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs $1$ , $2$ , $3$ , $4$ et $5$ . Sa fonction de répartition $F$ , définie par $F(x) = P(X \leq x)$ , est donnée par le tableau ci-dessous.

$x$	1	2	3	4	5
$F(x)$	0,05	0,25	0,60	0,85	1

a.
Calculer $P(X = 3)$ .
$F(3) - F(2)$
b.
Calculer $P(X > 2)$ .
$1 - F(2)$
c.
Calculer l'espérance mathématique de $X$ .
$1 \cdot 0{,}05 + 2 \cdot 0{,}20 + 3 \cdot 0{,}35 + 4 \cdot 0{,}25 + 5 \cdot 0{,}15$

Correction

Loi de probabilité déduite de $F$
$P(X = 1) = F(1) = 0{,}05$ ; $P(X = k) = F(k) - F(k - 1)$ pour $k \geq 2$ : $P(X = 2) = 0{,}20$ , $P(X = 3) = 0{,}35$ , $P(X = 4) = 0{,}25$ , $P(X = 5) = 0{,}15$ . La somme vaut bien $1$ .
a) $P(X = 3)$
$P(X = 3) = F(3) - F(2) = 0{,}60 - 0{,}25 = 0{,}35$ .
b) $P(X > 2)$
L'événement contraire de $X > 2$ est $X \leq 2$ : $P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ .
c) Espérance
$E(X) = \sum x_i \, p_i = 1 \times 0{,}05 + 2 \times 0{,}20 + 3 \times 0{,}35 + 4 \times 0{,}25 + 5 \times 0{,}15 = 0{,}05 + 0{,}40 + 1{,}05 + 1{,}00 + 0{,}75 = 3{,}25$ .

a) $0{,}35$ ; b) $0{,}75$ ; c) $3{,}25$

Barème de cet exercice

a : Écrire $P(X = 3) = F(3) - F(2)$ (1 point)
a : Calculer $0{,}60 - 0{,}25 = 0{,}35$ (1 point)
b : Passer par l'événement contraire : $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - F(2)$ (1 point)
b : Calculer $1 - 0{,}25 = 0{,}75$ (1 point)
c : Déduire la loi de probabilité : $0{,}05$ ; $0{,}20$ ; $0{,}35$ ; $0{,}25$ ; $0{,}15$ (1 point)
c : Écrire $E(X) = \sum x_i \, p_i$ (1 point)
c : Calculer $E(X) = 3{,}25$ (1 point)

Exercice 4

Un bus passe à un arrêt toutes les 12 minutes. Un voyageur arrive à l'arrêt à un moment quelconque, sans avoir consulté l'horaire. On note $X$ le temps d'attente du voyageur, en minutes ; on admet que $X$ suit la loi uniforme continue sur l'intervalle $[0 ; 12]$ .

a.
Calculer la probabilité que le voyageur attende plus de 9 minutes.
$P(X > 9) = \frac{3}{12}$
b.
Calculer le temps d'attente moyen, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$ .
$E(X) = \frac{0 + 12}{2}$
c.
Calculer l'écart type de $X$ (arrondir au centième).
$\sqrt{\frac{1}{12} \int_0^{12} (x - 6)^2 dx}$

Correction

Loi uniforme
La densité de $X$ est constante sur $[0 ; 12]$ , égale à $\dfrac{1}{12}$ . La probabilité d'un intervalle inclus dans $[0 ; 12]$ est donc sa longueur divisée par $12$ .
a) Plus de 9 minutes
$P(X > 9) = P(9 < X \leq 12) = \dfrac{12 - 9}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ .
b) Espérance
L'espérance d'une loi uniforme sur $[a ; b]$ est le milieu de l'intervalle : $E(X) = \dfrac{0 + 12}{2} = 6$ . Le temps d'attente moyen est de $6$ minutes.
c) Écart type
$V(X) = \displaystyle\int_0^{12} (x - 6)^2 \cdot \dfrac{1}{12} \, dx = \dfrac{1}{12} \left[ \dfrac{(x - 6)^3}{3} \right]_0^{12} = \dfrac{1}{12} \left( \dfrac{216}{3} + \dfrac{216}{3} \right) = 12$ (on retrouve $\dfrac{(b - a)^2}{12} = \dfrac{144}{12}$ ). Donc $\sigma(X) = \sqrt{12} \approx 3{,}46$ minutes.

a) $\dfrac{1}{4}$ ; b) $6$ minutes ; c) $\sigma(X) \approx 3{,}46$ minutes

Barème de cet exercice

a : Utiliser que la probabilité est proportionnelle à la longueur de l'intervalle : $P(X > 9) = \dfrac{12 - 9}{12}$ (1 point)
a : Résultat $\dfrac{1}{4}$ (1 point)
b : $E(X) = \dfrac{0 + 12}{2} = 6$ minutes (1 point)
c : Écrire la variance $V(X) = \dfrac{1}{12} \int_0^{12} (x - 6)^2 \, dx$ ou la formule $\dfrac{(b - a)^2}{12}$ (1 point)
c : Calculer $V(X) = 12$ (1 point)
c : $\sigma(X) = \sqrt{12} \approx 3{,}46$ minutes (1 point)

Exercice 5

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ? Justifier.

Les deux courbes ont le même axe de symétrie ; la courbe de Y est plus étalée et moins haute que celle de X.
Les deux courbes ont le même axe de symétrie ; la courbe de Y est plus étroite et plus haute que celle de X.
La courbe de Y se déduit de celle de X par une translation vers la droite.
Les deux courbes ont la même hauteur maximale mais pas le même axe de symétrie.

Correction

Rôle des paramètres
Pour la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ , la courbe de Gauss est symétrique par rapport à la droite $x = \mu$ ; plus $\sigma$ est grand, plus la courbe est étalée.
Application
$X$ et $Y$ ont la même moyenne $50$ : leurs courbes ont le même axe de symétrie $x = 50$ . L'écart type de $Y$ ( $10$ ) est plus grand que celui de $X$ ( $5$ ) : la courbe de $Y$ est plus étalée.
Hauteur
L'aire totale sous chaque courbe vaut $1$ . Une courbe plus étalée doit donc être moins haute : le maximum de la courbe de $Y$ est plus bas que celui de $X$ (il vaut $\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$ , soit environ $0{,}08$ pour $X$ et $0{,}04$ pour $Y$ ).

Les deux courbes ont le même axe de symétrie ; la courbe de Y est plus étalée et moins haute que celle de X.

Barème de cet exercice

Choisir la première affirmation (1 point)
Justifier l'axe de symétrie commun : la droite d'équation $x = \mu = 50$ (1 point)
Justifier la forme : un écart type plus grand étale la courbe, dont la hauteur diminue puisque l'aire totale reste égale à 1 (1 point)

Exercice 6

Un test comporte 10 questions à choix multiple. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule est correcte. Un candidat n'a rien appris et répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

a.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
b.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 bonnes réponses (arrondir au centième).
$120*0{,}25^3*0{,}75^7$
c.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins 5 bonnes réponses (arrondir au centième).
$\sum_{k=5}^{10} C_{10}^{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{10-k}$
d.
Calculer l'espérance mathématique de $X$ .
$10 \cdot 0{,}25$
e.
Calculer l'écart type de $X$ (arrondir au centième).
$\sqrt{10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75}$

Correction

a) Loi de $X$
Chaque question est une épreuve de Bernoulli (succès : la bonne réponse, avec $p = \dfrac{1}{4}$ ). Les 10 questions sont indépendantes et identiques : $X$ compte les succès d'un schéma de Bernoulli, donc $X \sim B(10 ; 0{,}25)$ .
b) Exactement 3 bonnes réponses
$P(X = k) = C_n^k \, p^k (1 - p)^{n - k}$ , donc $P(X = 3) = C_{10}^{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7 = 120 \times 0{,}015625 \times 0{,}1334 \approx 0{,}2503$ , soit $0{,}25$ .
c) Au moins 5 bonnes réponses
$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \left( P(X = 0) + \dots + P(X = 4) \right) = 1 - 0{,}9219 \approx 0{,}0781$ , soit $0{,}08$ . Répondre au hasard donne moins de 8 % de chances d'atteindre 5 bonnes réponses.
d) Espérance
$E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$ : en répondant au hasard, on obtient en moyenne $2{,}5$ bonnes réponses.
e) Écart type
$\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{10 \times 0{,}25 \times 0{,}75} = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37$ .

a) $B(10 ; 0{,}25)$ ; b) $0{,}25$ ; c) $0{,}08$ ; d) $2{,}5$ ; e) $1{,}37$

Barème de cet exercice

a : Schéma de Bernoulli : 10 épreuves identiques et indépendantes, deux issues (bonne ou mauvaise réponse) (1 point)
a : $X \sim B(10 ; 0{,}25)$ (1 point)
b : Écrire $P(X = 3) = C_{10}^{3} \, (0{,}25)^3 (0{,}75)^7$ (1 point)
b : Résultat $\approx 0{,}25$ (1 point)
c : Écrire $P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)$ ou sommer de $k = 5$ à $10$ (1 point)
c : Calculer les probabilités nécessaires avec la formule de la loi binomiale (1 point)
c : Résultat $\approx 0{,}08$ (1 point)
d : $E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$ (1 point)
e : Écrire $\sigma(X) = \sqrt{n p q}$ (1 point)
e : $\sigma(X) = \sqrt{10 \times 0{,}25 \times 0{,}75} \approx 1{,}37$ (1 point)

Exercice 7

À la kermesse d'une école, on propose le jeu suivant : le joueur paie 2 € de mise, puis lance un dé équilibré. Il reçoit 6 € si le dé donne 6, 2 € s'il donne 4 ou 5, et rien dans les autres cas. On note $G$ le gain net du joueur, c'est-à-dire la somme reçue moins la mise.

a.
Établir la loi de probabilité de $G$ (les valeurs de $G$ et leurs probabilités).
b.
Calculer l'espérance mathématique de $G$ et interpréter le résultat.
$4 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}$
c.
Calculer l'écart type de $G$ (arrondir au centième).
$\sqrt{\frac{14}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2}$
d.
Quelle mise rendrait le jeu équitable (espérance du gain net égale à 0) ? Arrondir au centième.
$6 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6}$

Correction

a) Loi de probabilité
Gain net : $6 - 2 = 4$ € si le dé donne 6 (probabilité $\dfrac{1}{6}$ ) ; $2 - 2 = 0$ € s'il donne 4 ou 5 (probabilité $\dfrac{2}{6}$ ) ; $0 - 2 = -2$ € s'il donne 1, 2 ou 3 (probabilité $\dfrac{3}{6}$ ). Tableau : $G = 4$ , $0$ , $-2$ avec les probabilités $\dfrac{1}{6}$ , $\dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{1}{2}$ ; leur somme vaut bien $1$ .
b) Espérance
$E(G) = 4 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{1}{3} + (-2) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3} - 1 = -\dfrac{1}{3}$ . Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $\dfrac{1}{3}$ d'euro par partie : le jeu est en sa défaveur.
c) Écart type
$E(G^2) = 16 \times \dfrac{1}{6} + 0 + 4 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{14}{3}$ . $V(G) = E(G^2) - \big(E(G)\big)^2 = \dfrac{14}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{41}{9}$ et $\sigma(G) = \dfrac{\sqrt{41}}{3} \approx 2{,}13$ €.
d) Mise équitable
La somme reçue vaut en moyenne $6 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{2}{6} = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ €. Le jeu est équitable si la mise est égale à cette espérance : $\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ €.

a) $G = 4, 0, -2$ de probabilités $\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}$ ; b) $E(G) = -\dfrac{1}{3}$ ; c) $\sigma(G) \approx 2{,}13$ ; d) $1{,}67$ €

Barème de cet exercice

a : Déterminer les valeurs de $G$ : $4$ , $0$ et $-2$ (1 point)
a : Calculer les trois probabilités : $\dfrac{1}{6}$ , $\dfrac{2}{6}$ , $\dfrac{3}{6}$ (1 point)
a : Contrôler que la somme vaut 1 (1 point)
b : $E(G) = \sum g_i \, p_i = 4 \times \dfrac{1}{6} + 0 - 2 \times \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3}$ (2 points)
b : Interpréter : le joueur perd en moyenne $\dfrac{1}{3}$ d'euro par partie, le jeu lui est défavorable (1 point)
c : Calculer $E(G^2) = \dfrac{14}{3}$ puis $V(G) = E(G^2) - \big(E(G)\big)^2 = \dfrac{41}{9}$ (1 point)
c : $\sigma(G) = \dfrac{\sqrt{41}}{3} \approx 2{,}13$ (1 point)
d : Calculer l'espérance de la somme reçue : $6 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{3}$ (1 point)
d : Conclure : mise équitable $\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ € (1 point)

Exercice 8

La taille, en cm, des jeunes de 17 ans d'une région est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne 170 et d'écart type 8. On choisit un jeune de 17 ans au hasard. Les valeurs utiles de la table de la loi normale centrée réduite sont données dans le document ci-dessous ( $Z$ désigne la variable normale centrée réduite).

Extrait de la table de la loi normale centrée réduite : $P(Z \leq z)$

$z$	0,75	1	1,25	1,5	2
$P(Z \leq z)$	0,7734	0,8413	0,8944	0,9332	0,9772

a.
Calculer la probabilité que ce jeune mesure moins de 176 cm.
$P\left(Z \leq \frac{176 - 170}{8}\right)$
b.
Calculer la probabilité que ce jeune mesure plus de 182 cm.
$1 - P(Z \leq 1{,}5)$
c.
Calculer la probabilité que ce jeune mesure entre 158 cm et 182 cm.
$2 P(Z \leq 1{,}5) - 1$
d.
Représenter la courbe de Gauss de $X$ et hachurer l'aire qui correspond à la probabilité de la question c).

Correction

Changement de variable
$X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 170$ et d'écart type $\sigma = 8$ : la variable $Z = \dfrac{X - 170}{8}$ suit la loi normale centrée réduite, lue dans la table.
a) Moins de 176 cm
$P(X < 176) = P\left(Z < \dfrac{176 - 170}{8}\right) = P(Z < 0{,}75) = 0{,}7734 \approx 0{,}77$ .
b) Plus de 182 cm
$P(X > 182) = P(Z > 1{,}5) = 1 - P(Z \leq 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \approx 0{,}07$ .
c) Entre 158 cm et 182 cm
$158$ correspond à $z = \dfrac{158 - 170}{8} = -1{,}5$ et $182$ à $z = 1{,}5$ . Par symétrie de la courbe de Gauss, $P(-1{,}5 < Z < 1{,}5) = P(Z < 1{,}5) - P(Z < -1{,}5) = 2 \times 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664 \approx 0{,}87$ .
d) Schéma
On trace la courbe en cloche, symétrique par rapport à la droite $x = 170$ , on place les graduations $158$ , $170$ et $182$ sur l'axe horizontal et on hachure l'aire sous la courbe entre $158$ et $182$ : elle représente $P(158 < X < 182) \approx 0{,}87$ .

a) $0{,}77$ ; b) $0{,}07$ ; c) $0{,}87$ ; d) schéma de la courbe de Gauss

Barème de cet exercice

a : Centrer et réduire : $z = \dfrac{176 - 170}{8} = 0{,}75$ (1 point)
a : Lire $P(Z \leq 0{,}75) = 0{,}7734$ , soit $0{,}77$ (1 point)
b : Centrer et réduire : $z = \dfrac{182 - 170}{8} = 1{,}5$ (1 point)
b : $P(X > 182) = 1 - P(Z \leq 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 \approx 0{,}07$ (1 point)
c : Centrer et réduire : $z = -1{,}5$ et $z = 1{,}5$ (1 point)
c : Utiliser la symétrie : $P(-1{,}5 < Z < 1{,}5) = 2 \, P(Z \leq 1{,}5) - 1$ (1 point)
c : Résultat $2 \times 0{,}9332 - 1 \approx 0{,}87$ (1 point)
d : Courbe en cloche centrée en 170 avec l'axe de symétrie $x = 170$ et les graduations 158, 170, 182 (1 point)
d : Aire hachurée entre 158 et 182, symétrique par rapport à 170 (1 point)

Exercice 9

Dans une usine, 8 % des pièces fabriquées sont défectueuses. La production est suffisamment grande pour considérer que les pièces prélevées successivement sont indépendantes les unes des autres. On prélève $n$ pièces au hasard et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi elles.

a.
On prélève 20 pièces. Calculer la probabilité qu'exactement 2 pièces soient défectueuses (arrondir au centième).
$190\cdot0.08^2\cdot0.92^{18}$
b.
On prélève 20 pièces. Calculer la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse (arrondir au centième).
$1 - 0{,}92^{20}$
c.
Combien de pièces faut-il prélever au minimum pour que la probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à 0,9 ?
$n \geq \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}92}$

Correction

Loi de $X$
On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (la pièce est défectueuse avec la probabilité $p = 0{,}08$ ) : $X \sim B(n ; 0{,}08)$ .
a) Exactement 2 défectueuses parmi 20
$P(X = 2) = C_{20}^{2} \times 0{,}08^2 \times 0{,}92^{18} = 190 \times 0{,}0064 \times 0{,}2231 \approx 0{,}2711$ , soit $0{,}27$ .
b) Au moins une défectueuse parmi 20
Événement contraire : aucune pièce défectueuse, de probabilité $0{,}92^{20} \approx 0{,}1887$ . Donc $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}92^{20} \approx 0{,}8113$ , soit $0{,}81$ .
c) Effectif minimal
$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}92^{n} \geq 0{,}9 \iff 0{,}92^{n} \leq 0{,}1$ . Comme $\ln$ est croissante, $n \ln 0{,}92 \leq \ln 0{,}1$ ; puisque $\ln 0{,}92 < 0$ , on change le sens de l'inégalité : $n \geq \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}92} \approx 27{,}6$ . Le plus petit entier convenable est $n = 28$ . Contrôle : $1 - 0{,}92^{27} \approx 0{,}895 < 0{,}9$ et $1 - 0{,}92^{28} \approx 0{,}903 \geq 0{,}9$ .

a) $0{,}27$ ; b) $0{,}81$ ; c) $n = 28$

Barème de cet exercice

a : Justifier $X \sim B(20 ; 0{,}08)$ (1 point)
a : Écrire $P(X = 2) = C_{20}^{2} \, 0{,}08^2 \, 0{,}92^{18}$ (1 point)
a : Résultat $\approx 0{,}27$ (1 point)
b : Passer par l'événement contraire : aucune pièce défectueuse, $0{,}92^{20}$ (1 point)
b : $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}92^{20} \approx 0{,}81$ (1 point)
c : Écrire l'inéquation $1 - 0{,}92^{n} \geq 0{,}9$ , soit $0{,}92^{n} \leq 0{,}1$ (1 point)
c : Passer aux logarithmes en tenant compte du signe de $\ln 0{,}92 < 0$ : $n \geq \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}92}$ (2 points)
c : Conclure $n \geq 27{,}6$ , donc $n = 28$ (1 point)

Exercice 10

Les notes obtenues à un examen de mathématiques par un grand nombre de candidats sont modélisées par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne 11,5 et d'écart type 2,5. Le jury décide de décerner une mention aux 10 % de candidats qui ont obtenu les meilleures notes. Les valeurs utiles de la table de la loi normale centrée réduite sont données dans le document ci-dessous.

Extrait de la table de la loi normale centrée réduite : $P(Z \leq z)$

$z$	1,28	1,29	1,4
$P(Z \leq z)$	0,8997	0,9015	0,9192

a.
Déterminer la valeur $z$ telle que $P(Z \leq z) = 0{,}90$ , à l'aide de la table.
$P(Z \leq z) = 0{,}90$
b.
En déduire la note minimale à obtenir pour avoir la mention (arrondir au dixième).
$11{,}5 + 1{,}28 \cdot 2{,}5$
c.
Un candidat est choisi au hasard. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu moins de 8 (arrondir au centième).
$1 - P(Z \leq 1{,}4)$

Correction

Traduction de la condition
Les $10\ \%$ meilleures notes sont celles qui dépassent une valeur $a$ telle que $P(X \geq a) = 0{,}10$ , c'est-à-dire $P(X \leq a) = 0{,}90$ .
a) Lecture inverse
Dans la table, la probabilité la plus proche de $0{,}90$ est $0{,}8997$ (pour $z = 1{,}28$ ) ; la suivante est $0{,}9015$ (pour $z = 1{,}29$ ). On retient $z = 1{,}28$ .
b) Note minimale
$P(X \leq a) = 0{,}90 \iff \dfrac{a - 11{,}5}{2{,}5} = 1{,}28$ , donc $a = 11{,}5 + 1{,}28 \times 2{,}5 = 14{,}7$ . Il faut obtenir au moins $14{,}7$ pour avoir la mention.
c) Moins de 8
$P(X < 8) = P\left(Z < \dfrac{8 - 11{,}5}{2{,}5}\right) = P(Z < -1{,}4) = 1 - P(Z \leq 1{,}4) = 1 - 0{,}9192 = 0{,}0808 \approx 0{,}08$ .

a) $z = 1{,}28$ ; b) $14{,}7$ ; c) $0{,}08$

Barème de cet exercice

a : Lecture inverse de la table : valeur la plus proche de $0{,}90$ , soit $0{,}8997$ (1 point)
a : $z = 1{,}28$ (1 point)
b : Traduire : chercher $a$ tel que $P(X \geq a) = 0{,}10$ , c'est-à-dire $P(X \leq a) = 0{,}90$ (1 point)
b : Revenir à la variable $X$ : $a = \mu + z \sigma = 11{,}5 + 1{,}28 \times 2{,}5$ (1 point)
b : Résultat $a = 14{,}7$ (1 point)
c : Centrer et réduire : $z = \dfrac{8 - 11{,}5}{2{,}5} = -1{,}4$ (1 point)
c : Utiliser la symétrie : $P(Z \leq -1{,}4) = 1 - P(Z \leq 1{,}4) = 1 - 0{,}9192$ (1 point)
c : Résultat $\approx 0{,}08$ (1 point)

Exercice 11

Le coût de fabrication d'un vélo électrique est de 900 €. Un mauvais réglage de la machine qui les fabrique peut entraîner deux défauts, notés A et B. Un vélo peut avoir les deux défauts en même temps.

8 % des vélos possèdent le défaut A ;
5 % des vélos possèdent le défaut B ;
1 % des vélos possèdent les deux défauts.

Les vélos sont vendus 1 300 € pièce après avoir été réparés. Corriger le défaut A coûte 60 € et le défaut B coûte 120 €.

a.
Si on choisit un vélo au hasard, quel bénéfice le fabricant peut-il espérer de sa vente ?
$1300 - 900 - (0{,}07 \cdot 60 + 0{,}04 \cdot 120 + 0{,}01 \cdot 180)$

Correction

Probabilités des quatre cas
$P(A \cap B) = 0{,}01$ ; $P(\text{seulement } A) = 0{,}08 - 0{,}01 = 0{,}07$ ; $P(\text{seulement } B) = 0{,}05 - 0{,}01 = 0{,}04$ ; $P(\text{aucun défaut}) = 1 - (0{,}07 + 0{,}04 + 0{,}01) = 0{,}88$ .
Loi du coût de réparation $C$
$C = 0$ € avec la probabilité $0{,}88$ ; $C = 60$ € avec $0{,}07$ ; $C = 120$ € avec $0{,}04$ ; $C = 60 + 120 = 180$ € avec $0{,}01$ . La somme des probabilités vaut $1$ .
Espérance du coût
$E(C) = 0 \times 0{,}88 + 60 \times 0{,}07 + 120 \times 0{,}04 + 180 \times 0{,}01 = 4{,}2 + 4{,}8 + 1{,}8 = 10{,}80$ €.
Bénéfice espéré
Le bénéfice d'un vélo est le prix de vente moins le coût de fabrication moins le coût de réparation : $1\,300 - 900 - C$ . Son espérance vaut $400 - 10{,}80 = 389{,}20$ €. Le fabricant peut espérer un bénéfice de $389{,}20$ € par vélo vendu.

$389{,}20$ € par vélo

Barème de cet exercice

a : Traduire les données en probabilités : seulement A $0{,}07$ ; seulement B $0{,}04$ ; A et B $0{,}01$ ; aucun défaut $0{,}88$ (2 points)
a : Définir la variable aléatoire (coût de réparation ou bénéfice) et donner sa loi : $0$ , $60$ , $120$ , $180$ € (2 points)
a : Calculer l'espérance du coût de réparation : $0{,}07 \times 60 + 0{,}04 \times 120 + 0{,}01 \times 180 = 10{,}80$ € (2 points)
a : Conclure : bénéfice espéré $1\,300 - 900 - 10{,}80 = 389{,}20$ € par vélo (1 point)

Exercice 12

Une compagnie aérienne vend 220 billets pour un vol qui offre 200 places. L'expérience montre que chaque passager qui a acheté un billet se présente à l'embarquement avec la probabilité 0,9, indépendamment des autres passagers. On note $X$ le nombre de passagers qui se présentent.

On admet que la loi de $X$ peut être approchée par la loi normale de même moyenne et de même écart type, car $np \geq 5$ et $n(1 - p) \geq 5$ . Les valeurs utiles de la table de la loi normale centrée réduite sont données dans le document ci-dessous.

Extrait de la table de la loi normale centrée réduite : $P(Z \leq z)$

$z$	0,44	0,45	0,46
$P(Z \leq z)$	0,6700	0,6736	0,6772

a.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
b.
Calculer la moyenne et l'écart type de la loi normale qui approche $X$ (arrondir l'écart type au centième).
$np ; \sqrt{n p (1 - p)}$
c.
Calculer la probabilité qu'il y ait plus de 200 passagers présents, c'est-à-dire qu'au moins un passager doive être refusé (arrondir au centième).
$1 - P\left(Z \leq \frac{200 - 198}{4{,}45}\right)$

Correction

a) Loi de $X$
Chaque passager est une épreuve de Bernoulli (succès : il se présente, $p = 0{,}9$ ). Les 220 épreuves sont identiques et indépendantes : $X \sim B(220 ; 0{,}9)$ .
b) Paramètres de la loi normale
$\mu = np = 220 \times 0{,}9 = 198$ et $\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{220 \times 0{,}9 \times 0{,}1} = \sqrt{19{,}8} \approx 4{,}45$ .
c) Probabilité d'un refus
On approche $X$ par la loi normale de moyenne $198$ et d'écart type $4{,}45$ . $P(X > 200) \approx P\left(Z > \dfrac{200 - 198}{4{,}45}\right) = P(Z > 0{,}45) = 1 - P(Z \leq 0{,}45) = 1 - 0{,}6736 = 0{,}3264 \approx 0{,}33$ .
Conclusion
Avec cette approximation, la compagnie doit refuser au moins un passager dans environ $33\ \%$ des vols : la surréservation de 20 billets n'est pas anodine.

a) $B(220 ; 0{,}9)$ ; b) $\mu = 198$ , $\sigma \approx 4{,}45$ ; c) $0{,}33$

Barème de cet exercice

a : Schéma de Bernoulli : 220 épreuves identiques et indépendantes, deux issues (le passager se présente ou non) (1 point)
a : $X \sim B(220 ; 0{,}9)$ (1 point)
b : $\mu = np = 220 \times 0{,}9 = 198$ (1 point)
b : $\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{19{,}8}$ (1 point)
b : $\sigma \approx 4{,}45$ (1 point)
c : Modéliser $X$ par la loi normale de moyenne $198$ et d'écart type $4{,}45$ et écrire $P(X > 200)$ (1 point)
c : Centrer et réduire : $z = \dfrac{200 - 198}{4{,}45} \approx 0{,}45$ (1 point)
c : $P(Z > 0{,}45) = 1 - P(Z \leq 0{,}45) = 1 - 0{,}6736$ (1 point)
c : Résultat $\approx 0{,}33$ et phrase de conclusion (1 point)

Programme et consignes

Les consignes dépendent du cycle. Vérifie celles de ton inscription ; les exemples officiels ne couvrent pas tout le programme.