Dérivée

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À revoir avant : Limites et asymptotes, Définition, Règles de dérivation, Croissance et extrema, Tangente.

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Notion	Cours	Exercices
Définition	Disponible	1
Règles de dérivation	Disponible	2
Tangente	Disponible	2
Croissance et extrema	Disponible	5
Étude complète de fonctions	Disponible	1

Fiche de révision

Taux d'accroissement : Pour une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ , c'est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . C'est la pente moyenne sur cet intervalle.
Nombre dérivé en $a$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . C'est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ .
Limite quand $h \to 0$ : On regarde ce que devient le taux d'accroissement quand $h$ s'approche de 0, sans prendre $h=0$ .
Tangente en $a$ : La droite qui touche la courbe en $a$ et qui a la même pente que la courbe à cet endroit. Sa pente est $f'(a)$ .
Notation $f'(a)$ : Se lit « f prime de a ». C'est un nombre, pas une fonction.
Différence entre $f'(a)$ et $f'(x)$ : $f'(a)$ est un nombre précis. $f'(x)$ est la fonction dérivée, qui donne $f'(a)$ pour chaque $a$ .
Repère 1 : $(u + v)' = u' + v'$
Repère 2 : $(ku)' = k\,u'$
Repère 3 : $(uv)' = u'v + uv'$
Repère 4 : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Repère 5 : $(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$
Repère 6 : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Repère 1 : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Repère 2 : vitesse instantanée = limite du taux d’accroissement
f' ≥ 0 sur I : f est croissante sur l'intervalle I
f' ≤ 0 sur I : f est décroissante sur l'intervalle I
f' change de signe en x0 : x0 est un extremum local de f
f'' > 0 sur I : f est concave vers le haut (convexe) sur I
f'' < 0 sur I : f est concave vers le bas (concave) sur I
f'' change de signe en x0 : x0 est un point d'inflexion de f
f'(x0)=0 et f''(x0)>0 : x0 est un minimum local
f'(x0)=0 et f''(x0)<0 : x0 est un maximum local
Repère 1 : ordre : dom $f$ , CE, limites, asymptotes, $f'$ , tableau de variation, graphique

Définition de la dérivée en un point

La dérivée en un point, c'est l'outil qui donne la pente exacte d'une courbe à cet endroit. Tu sais calculer la pente entre deux points avec $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . Ici, on veut la pente en un seul point, comme si on zoomait jusqu'à ce que la courbe devienne une droite.

Pour y arriver, on prend deux points proches : $a$ et $a+h$ . Le taux d'accroissement est la pente moyenne entre eux : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Si $h$ est grand, c'est une pente moyenne. Si $h$ devient tout petit, cette pente se rapproche de la pente de la tangente en $a$ .

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite de ce taux quand $h$ tend vers 0. Exemple : pour $f(x)=x^2$ et $a=3$ , le taux vaut $\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h$ . Quand $h$ tend vers 0, $6+h$ tend vers 6. Donc $f'(3)=6$ : la tangente en 3 monte avec une pente de 6.

Cette définition sert à comprendre d'où viennent toutes les formules de dérivation. Elle sert aussi quand une fonction est donnée par un dessin ou un tableau, ou quand on veut vérifier un calcul.

À retenir

Taux d'accroissement: Pour une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ , c'est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . C'est la pente moyenne sur cet intervalle.
Nombre dérivé en $a$: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . C'est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ .
Limite quand $h \to 0$: On regarde ce que devient le taux d'accroissement quand $h$ s'approche de 0, sans prendre $h=0$ .
Tangente en $a$: La droite qui touche la courbe en $a$ et qui a la même pente que la courbe à cet endroit. Sa pente est $f'(a)$ .
Notation $f'(a)$: Se lit « f prime de a ». C'est un nombre, pas une fonction.
Différence entre $f'(a)$ et $f'(x)$: $f'(a)$ est un nombre précis. $f'(x)$ est la fonction dérivée, qui donne $f'(a)$ pour chaque $a$ .

Méthode

Calcule $f(a+h)$ en remplaçant $x$ par $a+h$ dans l'expression de $f$ .
Calcule $f(a+h)-f(a)$ .
Écris le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
Simplifie l'expression pour qu'il ne reste plus de $h$ au dénominateur.
Fais tendre $h$ vers 0 dans l'expression simplifiée. Le résultat est $f'(a)$ .
Dis que ce nombre est la pente de la tangente en $a$ .

Exemple expliqué

Pour $f(x)=x^2$ , calcule $f'(3)$ avec la définition du nombre dérivé.

Je remplace $x$ par $3+h$ : $f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2$ .
Je calcule $f(3+h)-f(3)$ : $f(3)=3^2=9$ , donc $f(3+h)-f(3)=9+6h+h^2-9=6h+h^2$ .
J'écris le taux d'accroissement : $\frac{6h+h^2}{h}$ .
Je simplifie en factorisant $h$ : $\frac{h(6+h)}{h}=6+h$ .
Je fais tendre $h$ vers 0 : $6+h$ tend vers 6. Donc $f'(3)=6$ .

Le nombre dérivé est $f'(3)=6$ . La tangente à la courbe en $x=3$ a une pente de 6.

Points à surveiller

Remplacer $h$ par 0 trop tôt : au début, le dénominateur est $h$ , donc tu ne peux pas faire $h=0$ .
Oublier de simplifier : si tu gardes $\frac{6h+h^2}{h}$ et que tu fais $h=0$ , tu obtiens $\frac{0}{0}$ , qui n'a pas de sens.
Confondre le taux d'accroissement et le nombre dérivé : le taux est une pente moyenne, le nombre dérivé est la limite quand $h$ tend vers 0.
Croire que $f'(3)$ est une fonction : ici c'est juste le nombre 6.

Règles de dérivation

Somme, produit, quotient, composée, et les dérivées des fonctions de référence. En générales, les calculs restent sur des fonctions rationnelles.

À retenir

Repère 1: $(u + v)' = u' + v'$
Repère 2: $(ku)' = k\,u'$
Repère 3: $(uv)' = u'v + uv'$
Repère 4: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Repère 5: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$
Repère 6: $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Méthode

On dérive un assemblage, pas seulement un monôme.
Dérivée de l'extérieur, fois dérivée de l'intérieur.
FESeC générales : k, x, x², x³, √x, puis xⁿ par analogie ; trig possibles ici ou en UAA trig.

Exemple expliqué

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (sur leur domaine de définition).

a) Somme de puissances. On dérive terme à terme : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ et la dérivée d'une constante est $0$ . $f'(x) = 5 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 1 + 0 = 15x^2 - 4$ .
b) Racine carrée et inverse. $g(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ . $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ , donc $g'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^2}$ .
c) Produit. Produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = 2x - 1$ , $u' = 2$ , $v = x^2 + 3$ , $v' = 2x$ : $h'(x) = 2(x^2 + 3) + (2x - 1)\,2x = 2x^2 + 6 + 4x^2 - 2x = 6x^2 - 2x + 6$ .
Contrôle. Contrôle de c) : $h(x) = 2x^3 - x^2 + 6x - 3$ se dérive terme à terme en $6x^2 - 2x + 6$ .

a) 15x^2 - 4 ; b) 3/(2 √x) - 2/x^2 ; c) 6x^2 - 2x + 6

Tangente

La tangente en a a pour pente f'(a) et passe par le point de la courbe.

À retenir

Repère 1: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Repère 2: vitesse instantanée = limite du taux d’accroissement

Méthode

Pente f′(a), point (a, f(a)). Forme y = f′(a)(x − a) + f(a).
FESeC : pente de la tangente ; vitesse instantanée comme taux d’accroissement instantané.
f′(a) = 0 donne une tangente horizontale ; ce n’est pas forcément un extremum.

Exemple expliqué

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ . (Écrire tous les calculs.)

Dérivée. $u = x^2$ , $u' = 2x$ , $v = x + 1$ , $v' = 1$ : $f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$ .
Nombre dérivé et ordonnée du point de contact. $f'(1) = \dfrac{1 + 2}{(1 + 1)^2} = \dfrac{3}{4}$ et $f(1) = \dfrac{1}{2}$ .
Équation de la tangente. La tangente au point d'abscisse $a = 1$ a pour équation $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = \dfrac{3}{4}(x - 1) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$ .

y = 3/4 x - 1/4

Croissance et extrema

La dérivée indique si une fonction monte ou descend : quand $f' \ge 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; quand $f' \le 0$ , elle y est décroissante.

Un extremum local (maximum ou minimum) apparaît exactement où le signe de $f'$ change : passant de + à – on a un maximum, de – à + un minimum.

La dérivée seconde $f''$ décrit la concavité : $f'' > 0$ signifie que la courbe est creuse vers le haut (convexe), $f'' < 0$ creuse vers le bas (concave). Un point d’inflexion survient quand $f''$ change de signe.

À retenir

f' ≥ 0 sur I: f est croissante sur l'intervalle I
f' ≤ 0 sur I: f est décroissante sur l'intervalle I
f' change de signe en x0: x0 est un extremum local de f
f'' > 0 sur I: f est concave vers le haut (convexe) sur I
f'' < 0 sur I: f est concave vers le bas (concave) sur I
f'' change de signe en x0: x0 est un point d'inflexion de f
f'(x0)=0 et f''(x0)>0: x0 est un minimum local
f'(x0)=0 et f''(x0)<0: x0 est un maximum local

Méthode

Calculer la dérivée première f'.
Résoudre f'(x)=0 pour obtenir les points critiques.
Faire le tableau de signes de f' en testant le signe sur chaque intervalle déterminé par les points critiques.
Lire les intervalles où f' est positif (croissance) ou négatif (décroissance).
Repérer les changements de signe de f' pour identifier les extrema locaux.
(Optionnel) Calculer f'' pour étudier la concavité et repérer les points d'inflexion.

Exemple expliqué

Étudier la fonction f(x)=x^3-3x^2-9x+5 sur ℝ. Donner les abscisses des extrema locaux.

Calculer f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1).
Les points critiques sont x=-1 et x=3 (solutions de f'(x)=0).
Le signe de f' : pour x<-1, prendre x=-2 → f'(-2)=3( -5)(-1)=15>0 ; entre -1 et 3, prendre x=0 → f'(0)=-9<0 ; pour x>3, prendre x=4 → f'(4)=3(1)(5)=15>0.
Donc f est croissante sur (-∞,-1) et (3,+∞), décroissante sur (-1,3).
Le signe de f' passe de + à – en x=-1 → maximum local ; de – à + en x=3 → minimum local.
Les abscisses des extrema sont donc x=-1 et x=3.

S=\{-1;3\}

Points à surveiller

Oublier de tester le signe de f' sur chaque intervalle entre les points critiques.
Confondre concave vers le haut (f''>0) et concave vers le bas (f''<0).
Penser que f''(x)=0 implique automatiquement un point d'inflexion alors qu'il faut vérifier un changement de signe.
Ne pas distinguer extremum local et extremum global (les bornes de l'intervalle d'étude).

Étude complète de fonctions

L'exercice type de l'examen : domaine, CE, limites, asymptotes, dérivée, tableau de variation, graphique.

À retenir

Repère 1: ordre : dom $f$ , CE, limites, asymptotes, $f'$ , tableau de variation, graphique

Méthode

Toujours le même ordre : domaine, CE, limites, asymptotes, dérivée, tableau, puis le graphique après la réponse.
Limites aux bords, flèches, valeurs des extrema.

Exemple expliqué

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ .
Faire l'étude complète de $f$ : domaine, asymptotes, dérivée, tableau de variation, extrema et représentation graphique.

Domaine. $\operatorname{dom} f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Limites et asymptotes. En $x = 1$ le numérateur vaut $1 \neq 0$ : $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \dfrac{1}{0^+} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \dfrac{1}{0^-} = -\infty$ : la droite $x = 1$ est asymptote verticale. Division euclidienne : $x^2 = (x - 1)(x + 1) + 1$ , donc $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ . Comme $\dfrac{1}{x - 1} \to 0$ en $\pm\infty$ , la droite $y = x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Dérivée et signe. $f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$ . Le dénominateur est positif : $f'$ a le signe de $x(x - 2)$ , positif si $x < 0$ ou $x > 2$ , négatif si $0 < x < 2$ ( $x \neq 1$ ).
Tableau de variation. Tableau de variation :
$x$ $-\infty$ $0$ $1$ $2$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $-\infty$ croissante $0$ décroissante $-\infty$ / $+\infty$ décroissante $4$ croissante $+\infty$
Extrema locaux. $f(0) = 0$ : maximum local en $x = 0$ ; $f(2) = \dfrac{4}{1} = 4$ : minimum local en $x = 2$ . Le maximum local ( $0$ ) est inférieur au minimum local ( $4$ ) : c'est possible parce que $f$ n'est pas définie en $x = 1$ et que sa courbe a deux branches séparées par l'asymptote verticale.
Représentation graphique. Graphique : deux branches. Sur $]-\infty ; 1[$ , la courbe part de $-\infty$ le long de l'asymptote oblique $y = x + 1$ (au-dessous d'elle, car $f(x) - (x + 1) = \dfrac{1}{x - 1} < 0$ ), passe par l'origine (maximum local) puis descend vers $-\infty$ le long de $x = 1$ . Sur $]1 ; +\infty[$ , elle vient de $+\infty$ le long de $x = 1$ , passe par le minimum $(2 ; 4)$ puis remonte le long de $y = x + 1$ (au-dessus d'elle).

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	croissante	$0$	décroissante	$-\infty$ / $+\infty$	décroissante	$4$	croissante	$+\infty$

dom f = ℝ \ {1} ; asymptotes x = 1 et y = x + 1 ; f'(x) = (x^2 - 2x)/(x - 1)^2 ; maximum local 0 en x = 0 ; minimum local 4 en x = 2

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x$ .

a.
Calculer et simplifier le taux d'accroissement $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ pour $h \neq 0$ .
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$
b.
En déduire le nombre dérivé $f'(2)$ à l'aide de la définition.
c.
Que représente ce nombre pour la courbe de $f$ ?

Voir la correction

Calcul de f(2 + h) et de f(2)
$f(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2$ et $f(2) = 4 - 6 = -2$ .
Taux d'accroissement
Le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $2 + h$ est $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{h^2 + h - 2 + 2}{h} = \dfrac{h^2 + h}{h} = h + 1$ pour $h \neq 0$ .
Nombre dérivé
Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand $h \to 0$ : $f'(2) = \displaystyle \lim_{h \to 0} (h + 1) = 1$ .
Interprétation graphique
Le nombre dérivé $f'(2) = 1$ est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ , c'est-à-dire au point $(2 ; -2)$ .

h + 1 ; f'(2) = 1 ; pente de la tangente au point d'abscisse 2

Barème de cet exercice

a : Calcule f(2 + h) et f(2) (1 point)
a : Simplifie le taux d'accroissement en h + 1 (avec h différent de 0) (1 point)
b : Passe à la limite : f'(2) = 1 (1 point)
c : Interprète le nombre dérivé comme la pente de la tangente au point d'abscisse 2 (1 point)

Exercice 2

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (sur leur domaine de définition).

a.
$f(x) = 5x^3 - 4x + 7$
$f(x)=5x^3-4x+7$
b.
$g(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}$
$g(x)=3\sqrt{x}+\frac{2}{x}$
c.
$h(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)$
$h(x)=(2x-1)(x^2+3)$

Voir la correction

a) Somme de puissances
On dérive terme à terme : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ et la dérivée d'une constante est $0$ . $f'(x) = 5 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 1 + 0 = 15x^2 - 4$ .
b) Racine carrée et inverse
$g(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{2}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ . $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ , donc $g'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^2}$ .
c) Produit
Produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = 2x - 1$ , $u' = 2$ , $v = x^2 + 3$ , $v' = 2x$ : $h'(x) = 2(x^2 + 3) + (2x - 1)\,2x = 2x^2 + 6 + 4x^2 - 2x = 6x^2 - 2x + 6$ .
Contrôle
Contrôle de c) : $h(x) = 2x^3 - x^2 + 6x - 3$ se dérive terme à terme en $6x^2 - 2x + 6$ .

a) 15x^2 - 4 ; b) 3/(2 √x) - 2/x^2 ; c) 6x^2 - 2x + 6

Barème de cet exercice

a : Dérive terme à terme les puissances de x (1 point)
a : Résultat 15x^2 - 4 (1 point)
b : Utilise les dérivées de racine de x et de 1/x (1 point)
b : Résultat 3/(2 racine de x) - 2/x^2 (1 point)
c : Identifie u, v, u' et v' et écrit la formule du produit (1 point)
c : Résultat 6x^2 - 2x + 6 (1 point)

Exercice 3

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur leur domaine de définition. (Écrire tous les calculs.)

a.
$f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$
$f(x)=\frac{x^2+1}{x-3}$
b.
$g(x) = \sqrt{2x + 1}$
$g(x)=\sqrt{2x+1}$
c.
$k(x) = (3x - 1)^4$
$k(x)=(3x-1)^4$

Voir la correction

a) Quotient
$u = x^2 + 1$ , $u' = 2x$ , $v = x - 3$ , $v' = 1$ . $f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{2x(x - 3) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}$ , pour $x \neq 3$ .
b) Composée avec la racine carrée
$g(x) = \sqrt{2x + 1}$ est définie pour $2x + 1 \ge 0$ , dérivable pour $x > -\dfrac{1}{2}$ . Fonction extérieure $\sqrt{\ \cdot\ }$ de dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{\ \cdot\ }}$ , fonction intérieure $2x + 1$ de dérivée $2$ : $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ .
c) Puissance d'une fonction
$k(x) = (3x - 1)^4$ : extérieure $t \mapsto t^4$ de dérivée $4t^3$ , intérieure $3x - 1$ de dérivée $3$ : $k'(x) = 4(3x - 1)^3 \cdot 3 = 12(3x - 1)^3$ .

a) (x^2 - 6x - 1)/(x - 3)^2 ; b) 1/√(2x + 1) ; c) 12(3x - 1)^3

Barème de cet exercice

a : Identifie u, v, u' et v' et écrit la formule du quotient (1 point)
a : Développe et simplifie : (x^2 - 6x - 1)/(x - 3)^2 (1 point)
b : Domaine de dérivabilité x > -1/2 et fonction extérieure / intérieure identifiées (1 point)
b : Résultat 1/racine de (2x + 1) (1 point)
c : Fonction extérieure t^4 et intérieure 3x - 1 (1 point)
c : Résultat 12(3x - 1)^3 (1 point)

Exercice 4

a.
Calculer la dérivée $f'(x)$ .
$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$
b.
Calculer le nombre dérivé $f'(1)$ .
c.
En déduire l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $1$ .

Voir la correction

Dérivée
$u = x^2$ , $u' = 2x$ , $v = x + 1$ , $v' = 1$ : $f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$ .
Nombre dérivé et ordonnée du point de contact
$f'(1) = \dfrac{1 + 2}{(1 + 1)^2} = \dfrac{3}{4}$ et $f(1) = \dfrac{1}{2}$ .
Équation de la tangente
La tangente au point d'abscisse $a = 1$ a pour équation $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = \dfrac{3}{4}(x - 1) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$ .

y = 3/4 x - 1/4

Barème de cet exercice

a : Dérivée du quotient (formule et calcul) (1 point)
a : Simplification (x^2 + 2x) / (x + 1)^2 (1 point)
b : Calcul de f'(1) = 3/4 et de f(1) = 1/2 (1 point)
c : Formule de la tangente y = f'(1)(x - 1) + f(1) (1 point)
c : Équation réduite y = 3/4 x - 1/4 (1 point)

Exercice 5

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ .

a.
Existe-t-il des tangentes à la courbe de $f$ parallèles à l'axe des abscisses ? Si oui, donner les abscisses des points de contact. (justifier)
b.
Existe-t-il des tangentes à la courbe de $f$ parallèles à la droite $y = -9x + 2$ ? Si oui, donner les abscisses des points de contact. (justifier)

Voir la correction

Dérivée
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$ .
a) Tangentes parallèles à l'axe des abscisses
La tangente est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur est nul : $f'(x) = 0 \iff 3(x - 3)(x + 1) = 0 \iff x = 3$ ou $x = -1$ . Il y a donc deux tangentes horizontales, aux points $(-1 ; 6)$ et $(3 ; -26)$ .
b) Tangentes parallèles à y = -9x + 2
La droite $y = -9x + 2$ a pour coefficient directeur $-9$ . Une tangente lui est parallèle si $f'(x) = -9 \iff 3x^2 - 6x - 9 = -9 \iff 3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2$ . Les points de contact sont $(0 ; 1)$ et $(2 ; -21)$ ; ces tangentes ne sont pas confondues avec $y = -9x + 2$ car elles ne passent pas par le même point.

a) oui, en x = -1 et en x = 3 ; b) oui, en x = 0 et en x = 2

Barème de cet exercice

a : Calcule f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 (1 point)
a : Écrit la condition f'(x) = 0 et résout : x = -1 ou x = 3 (1 point)
b : Écrit la condition f'(x) = -9 (coefficient directeur de la droite) (1 point)
b : Résout : x = 0 ou x = 2, conclusion rédigée (1 point)

Exercice 6

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ .

a.
Déterminer les zéros de la dérivée $f'$ .
$f(x)=2x^3-9x^2+12x$
b.
Dresser le tableau de signes de $f'$ et le tableau de variation de $f$ .
c.
Quelle est la valeur du maximum local de $f$ ?
d.
Quelle est la valeur du minimum local de $f$ ?

Voir la correction

Dérivée et zéros
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ . Elle s'annule pour $x = 1$ et $x = 2$ .
Tableau de signes de f'
$f'$ est un polynôme du second degré de coefficient dominant $6 > 0$ : elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. $f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 1[$ , $f'(x) < 0$ sur $]1 ; 2[$ , $f'(x) > 0$ sur $]2 ; +\infty[$ .
Tableau de variation
Tableau de variation :
$x$ $-\infty$ $1$ $2$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ croissante $5$ décroissante $4$ croissante
Extrema locaux
$f(1) = 2 - 9 + 12 = 5$ et $f(2) = 16 - 36 + 24 = 4$ . En $x = 1$ , $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local $f(1) = 5$ . En $x = 2$ , $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local $f(2) = 4$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		croissante	$5$	décroissante	$4$	croissante

f'(x) = 6(x - 1)(x - 2), zéros 1 et 2 ; maximum local 5 en x = 1 ; minimum local 4 en x = 2

Barème de cet exercice

a : Calcule f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 (1 point)
a : Résout f'(x) = 0 : x = 1 ou x = 2 (1 point)
b : Tableau de signes de f' correct (+, -, +) (1 point)
b : Flèches de croissance et de décroissance correctes dans le tableau de variation (1 point)
b : Valeurs f(1) = 5 et f(2) = 4 placées dans le tableau (1 point)
c : Maximum local 5 justifié par le changement de signe de f' (1 point)
d : Minimum local 4 justifié par le changement de signe de f' (1 point)

Exercice 7

Dans un même repère orthonormé, on a tracé deux courbes.
La courbe $C_1$ est une parabole ouverte vers le bas, de sommet $(2 ; 4)$ , qui coupe l'axe des abscisses en $x = 0$ et en $x = 4$ .
La courbe $C_2$ passe par l'origine, y admet une tangente horizontale, atteint un maximum local au point d'abscisse $4$ et recoupe l'axe des abscisses en $x = 6$ .
L'une de ces courbes est la représentation graphique d'une fonction $f$ , l'autre celle de sa fonction dérivée $f'$ .

a.
Laquelle de ces deux courbes est la représentation graphique de $f$ ?
b.
Justifier ce choix par des arguments sur le signe et les zéros de la dérivée.
c.
Quelle est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ ?

Voir la correction

Principe
La fonction dérivée $f'$ s'annule aux abscisses où la courbe de $f$ admet une tangente horizontale, et son signe donne le sens de variation de $f$ .
Zéros de C_1 et tangentes horizontales de C_2
$C_1$ coupe l'axe des abscisses en $0$ et en $4$ : ce sont exactement les abscisses des points où $C_2$ a une tangente horizontale (l'origine et le maximum local d'abscisse $4$ ).
Signes de C_1 et sens de variation de C_2
Entre $0$ et $4$ , $C_1$ est au-dessus de l'axe : sa valeur est positive et $C_2$ y est croissante (elle monte de l'origine à son maximum). En dehors de $[0 ; 4]$ , $C_1$ est au-dessous de l'axe et $C_2$ est décroissante : c'est cohérent avec $f' < 0$ .
Conclusion
Conclusion : $C_2$ est la courbe de $f$ et $C_1$ celle de $f'$ . Par ailleurs, le sommet de $C_1$ donne $f'(2) = 4$ : la tangente à $C_2$ au point d'abscisse $2$ a pour coefficient directeur $4$ . (Exemple : $f(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 2x^2$ et $f'(x) = -x^2 + 4x$ .)

C2 est la courbe de f, C1 celle de f' ; f'(2) = 4

Barème de cet exercice

a : Relie les zéros de C_1 aux tangentes horizontales de C_2 (1 point)
b : Relie le signe de C_1 au sens de variation de C_2 (positif : croissante, négatif : décroissante) (2 points)
a : Conclusion rédigée : C_2 est la courbe de f (1 point)
c : Lit f'(2) = 4 au sommet de C_1 (1 point)
c : Interprète f'(2) comme le coefficient directeur de la tangente à C_2 en x = 2 (1 point)

Exercice 8

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2$ .

a.
Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ .
$\frac{d}{dx}(4x^3-24x^2+36x)$
b.
Déterminer les abscisses des points d'inflexion de la courbe de $f$ . (justifier)
c.
La fonction $f$ admet-elle un extremum en $x = 3$ ? (justifier avec le signe de $f'$ )
d.
Sur quels intervalles la courbe est-elle concave vers le haut ?

Voir la correction

Dérivées première et seconde
$f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x = 4x(x^2 - 6x + 9) = 4x(x - 3)^2$ et $f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x^2 - 4x + 3) = 12(x - 1)(x - 3)$ .
Points d'inflexion
$f''(x) = 0 \iff x = 1$ ou $x = 3$ . Signe de $f''$ : positif sur $]-\infty ; 1[$ , négatif sur $]1 ; 3[$ , positif sur $]3 ; +\infty[$ . $f''$ change de signe en $1$ et en $3$ : les points d'inflexion ont pour abscisses $1$ (point $(1 ; 11)$ ) et $3$ (point $(3 ; 27)$ ).
Concavité
La courbe est concave vers le haut (convexe) là où $f'' > 0$ , c'est-à-dire sur $]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[$ .
Y a-t-il un extremum en x = 3 ?
$f'(3) = 0$ : la tangente est horizontale en $x = 3$ . Mais $f'(x) = 4x(x - 3)^2$ a le signe de $x$ car $(x - 3)^2 \ge 0$ : $f'$ est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$ (avec $f'(3) = 0$ ). Elle ne change pas de signe en $3$ : il n'y a pas d'extremum en $x = 3$ , mais un point d'inflexion à tangente horizontale. L'unique extremum est le minimum $f(0) = 0$ .

f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 ; inflexions en x = 1 et x = 3 ; pas d'extremum en x = 3 ; concave vers le haut sur ]-infini ; 1[ et ]3 ; +infini[

Barème de cet exercice

a : Calcule f'(x) et f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 (1 point)
b : Résout f''(x) = 0 : x = 1 ou x = 3 (1 point)
b : Étudie le signe de f'' : changement de signe en 1 et en 3, donc points d'inflexion (1 point)
c : Factorise f'(x) = 4x(x - 3)^2 et étudie son signe (1 point)
c : Conclut : f' ne change pas de signe en 3, donc pas d'extremum en x = 3 (1 point)
d : Intervalles où f'' > 0 : ]-infini ; 1[ et ]3 ; +infini[ (1 point)

Exercice 9

On dispose d'une feuille de carton carrée de 24 cm de côté. On découpe un carré de côté $x$ cm dans chacun des quatre coins, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.
On cherche la valeur de $x$ qui rend le volume de la boîte maximal.

a.
Exprimer le volume $V(x)$ de la boîte en fonction de $x$ et donner le domaine de $V$ .
b.
Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal. (justifier avec un tableau de variation)
$V(x)=x(24-2x)^2$
c.
Quel est ce volume maximal, en cm³ ?

Voir la correction

Modèle et domaine
Après découpe, le fond de la boîte est un carré de côté $24 - 2x$ et la hauteur est $x$ . Le volume est $V(x) = x\,(24 - 2x)^2$ . Il faut $x > 0$ et $24 - 2x > 0$ , donc $x \in\ ]0 ; 12[$ .
Dérivée
$V(x) = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$ , donc $V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x - 4)(x - 12)$ .
Tableau de variation
Sur $]0 ; 12[$ , $x - 12 < 0$ : le signe de $V'$ est l'opposé de celui de $x - 4$ . $V'(x) > 0$ pour $0 < x < 4$ et $V'(x) < 0$ pour $4 < x < 12$ .
$x$ $0$ $4$ $12$
$V'(x)$ $+$ $0$ $-$
$V(x)$ $0$ croissante $1024$ décroissante $0$
Conclusion
Le volume est maximal pour $x = 4$ cm : la boîte a un fond de $16$ cm sur $16$ cm et une hauteur de $4$ cm. $V(4) = 4 \cdot 16^2 = 1024$ cm³.

$x$	$0$		$4$		$12$
$V'(x)$		$+$	$0$	$-$
$V(x)$	$0$	croissante	$1024$	décroissante	$0$

V(x) = x(24 - 2x)^2 ; x = 4 cm ; V maximal = 1024 cm³

Barème de cet exercice

a : Exprime le volume V(x) = x (24 - 2x)^2 (1 point)
a : Domaine 0 < x < 12 justifié (1 point)
b : Dérive V (développement ou produit) : V'(x) = 12(x - 4)(x - 12) (1 point)
b : Tableau de signes de V' sur ]0 ; 12[ (1 point)
b : Conclusion : maximum pour x = 4 (V' passe de + à -) (1 point)
c : Volume maximal 1 024 cm³ avec une phrase de conclusion (1 point)

Exercice 10

Un fabricant de conserves veut une boîte cylindrique fermée, de contenance $1$ litre ( $1000$ cm³), qui utilise le moins de métal possible. On note $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur, en cm.
On rappelle que le volume d'un cylindre est $V = \pi r^2 h$ et que l'aire totale de sa surface est $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .
Déterminer les dimensions de la boîte qui minimisent la quantité de métal (résultats au centième près, en conservant la valeur exacte de $r$ dans les calculs). Écrire tous les calculs.

a.
Exprimer l'aire $S$ en fonction de $r$ seul.
b.
Déterminer le rayon $r$ qui minimise l'aire. (justifier avec un tableau de variation)
$S(r)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$
c.
Calculer la hauteur $h$ correspondante, en cm.
d.
Calculer l'aire minimale, en cm².

Voir la correction

Aire en fonction de r
$\pi r^2 h = 1000$ donne $h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$ . Alors $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}$ , pour $r > 0$ .
Dérivée et zéro
$S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = \dfrac{4\pi r^3 - 2000}{r^2}$ . $S'(r) = 0 \iff r^3 = \dfrac{500}{\pi} \iff r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}} \approx 5{,}42$ .
Tableau de variation
Sur $]0 ; +\infty[$ , $r^2 > 0$ : $S'$ a le signe de $4\pi r^3 - 2000$ , négatif pour $r < r_0$ et positif pour $r > r_0$ (avec $r_0 \approx 5{,}42$ ). Donc $S$ décroît puis croît : $S$ atteint son minimum en $r_0$ .
$r$ $0$ $r_0 \approx 5{,}42$ $+\infty$
$S'(r)$ $-$ $0$ $+$
$S(r)$ $+\infty$ décroissante minimum croissante $+\infty$
Dimensions et aire minimale
$h = \dfrac{1000}{\pi r_0^2} \approx 10{,}84$ cm : on remarque $h = 2r_0$ , le cylindre est aussi haut que large. $S(r_0) = 2\pi r_0^2 + \dfrac{2000}{r_0} \approx 553{,}58$ cm² : la surface minimale de métal est d'environ $553{,}58$ cm².

$r$	$0$		$r_0 \approx 5{,}42$		$+\infty$
$S'(r)$		$-$	$0$	$+$
$S(r)$	$+\infty$	décroissante	minimum	croissante	$+\infty$

r = 5,42 cm ; h = 10,84 cm ; aire minimale 553,58 cm²

Barème de cet exercice

a : Exprime h avec la contenance : h = 1000 / (π r^2) (1 point)
a : Écrit S(r) = 2 π r^2 + 2000 / r (1 point)
b : Dérive S : S'(r) = 4 π r - 2000 / r^2 (1 point)
b : Résout S'(r) = 0 : r = (500 / π)^(1/3) = 5,42 (1 point)
b : Tableau de signes de S' et conclusion : minimum en r_0 (1 point)
c : Hauteur h = 10,84 cm (1 point)
d : Aire minimale 553,58 cm² avec une phrase de conclusion (2 points)

Exercice 11

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ .
Faire l'étude complète de $f$ : domaine, asymptotes, dérivée, tableau de variation, extrema et représentation graphique.

a.
Déterminer le domaine et les asymptotes de la courbe de $f$ . (justifier avec des limites)
$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$
b.
Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe.
$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$
c.
Dresser le tableau de variation de $f$ et donner ses extrema locaux.
d.
Tracer la courbe de $f$ avec ses asymptotes.

Voir la correction

Domaine
$\operatorname{dom} f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Limites et asymptotes
En $x = 1$ le numérateur vaut $1 \neq 0$ : $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \dfrac{1}{0^+} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \dfrac{1}{0^-} = -\infty$ : la droite $x = 1$ est asymptote verticale. Division euclidienne : $x^2 = (x - 1)(x + 1) + 1$ , donc $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ . Comme $\dfrac{1}{x - 1} \to 0$ en $\pm\infty$ , la droite $y = x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Dérivée et signe
$f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$ . Le dénominateur est positif : $f'$ a le signe de $x(x - 2)$ , positif si $x < 0$ ou $x > 2$ , négatif si $0 < x < 2$ ( $x \neq 1$ ).
Tableau de variation
Tableau de variation :
$x$ $-\infty$ $0$ $1$ $2$ $+\infty$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $-\infty$ croissante $0$ décroissante $-\infty$ / $+\infty$ décroissante $4$ croissante $+\infty$
Extrema locaux
$f(0) = 0$ : maximum local en $x = 0$ ; $f(2) = \dfrac{4}{1} = 4$ : minimum local en $x = 2$ . Le maximum local ( $0$ ) est inférieur au minimum local ( $4$ ) : c'est possible parce que $f$ n'est pas définie en $x = 1$ et que sa courbe a deux branches séparées par l'asymptote verticale.
Représentation graphique
Graphique : deux branches. Sur $]-\infty ; 1[$ , la courbe part de $-\infty$ le long de l'asymptote oblique $y = x + 1$ (au-dessous d'elle, car $f(x) - (x + 1) = \dfrac{1}{x - 1} < 0$ ), passe par l'origine (maximum local) puis descend vers $-\infty$ le long de $x = 1$ . Sur $]1 ; +\infty[$ , elle vient de $+\infty$ le long de $x = 1$ , passe par le minimum $(2 ; 4)$ puis remonte le long de $y = x + 1$ (au-dessus d'elle).

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	croissante	$0$	décroissante	$-\infty$ / $+\infty$	décroissante	$4$	croissante	$+\infty$

dom f = ℝ \ {1} ; asymptotes x = 1 et y = x + 1 ; f'(x) = (x^2 - 2x)/(x - 1)^2 ; maximum local 0 en x = 0 ; minimum local 4 en x = 2

Barème de cet exercice

a : Domaine R privé de {1} (1 point)
a : Asymptote verticale x = 1 justifiée par les limites à droite et à gauche (1 point)
a : Asymptote oblique y = x + 1 obtenue par division euclidienne et limite (1 point)
b : Dérivée f'(x) = (x^2 - 2x)/(x - 1)^2 (1 point)
b : Signe de f' : factorisation x(x - 2) et tableau de signes (1 point)
c : Tableau de variation complet (limites aux bords, flèches) (1 point)
c : Extrema locaux : maximum local 0 en x = 0 et minimum local 4 en x = 2 (1 point)
d : Courbe : asymptotes tracées, points (0 ; 0) et (2 ; 4), deux branches cohérentes avec le tableau (3 points)

Programme et consignes

Les consignes dépendent du cycle. Vérifie celles de ton inscription ; les exemples officiels ne couvrent pas tout le programme.