Suites

Pour la première suite, les quotients de deux termes consécutifs sont $\dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{12}{6} = 2$ et $\dfrac{24}{12} = 2$ : ils sont tous égaux, la suite est géométrique de raison $2$.

Deuxième suite : les différences $6 - 3$, $9 - 6$, $12 - 9$ valent toutes $3$, la suite est arithmétique. Elle n'est pas géométrique car $\dfrac{6}{3} = 2$ et $\dfrac{9}{6} = 1{,}5$ diffèrent.

Troisième suite : différences $3$, $5$, $7$ et quotients $2$, $\dfrac{11}{6}$, $\dfrac{18}{11}$ ne sont pas constants, ni arithmétique ni géométrique. Quatrième suite : différences $1$, $2$, $3$ et quotients $1{,}5$, $\dfrac{5}{3}$, $1{,}6$ : même conclusion.

Dans une suite géométrique, le quotient de deux termes consécutifs est constant : $q = \dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{10}{5} = 2$. Contrôle : $\dfrac{20}{10} = 2$ et $\dfrac{40}{20} = 2$.

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n = u_0 \cdot q^n$, donc $u_6 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320$.

Notons $u_n$ le nombre de sièges de la rangée $n$ ($n$ de $1$ à $24$). Chaque rangée compte $3$ sièges de plus que la précédente : $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_1 = 20$ et de raison $r = 3$.

$u_n = u_1 + (n - 1)\,r$, donc $u_{24} = 20 + 23 \cdot 3 = 89$. La dernière rangée compte 89 sièges.

La somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est $S_n = \dfrac{n\,(u_1 + u_n)}{2}$ : $S_{24} = \dfrac{24 \cdot (20 + 89)}{2} = 1308$. L'amphithéâtre compte 1308 sièges.

$u_9 = u_4 + (9 - 4)\,r$, donc $26 = 11 + 5r$ et $r = 3$.

$u_4 = u_0 + 4r$, donc $11 = u_0 + 12$ et $u_0 = -1$.

$u_n = u_0 + n\,r = -1 + 3n$, soit $u_n = 3n - 1$. Contrôle : $u_4 = 11$ et $u_9 = 26$.

On cherche $n$ tel que $3n - 1 = 101$, donc $3n = 102$ et $n = 34$ : le terme $u_{34}$ vaut $101$, c'est le trente-cinquième terme de la suite.

La raison est $q = \dfrac{15}{5} = 3$. La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ est $S = u_0 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.

Pour les huit premiers termes ($u_0$ à $u_7$) : $S = 5 \cdot \dfrac{3^8 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \dfrac{6560}{2} = 16\,400$.

$u_3 + \dots + u_7$ est la somme des huit premiers termes moins la somme des trois premiers ($u_0 + u_1 + u_2 = 5 \cdot \dfrac{3^3 - 1}{2} = 65$) : $16\,400 - 65 = 16\,335$.

Contrôle : $u_3 = 135$, $u_4 = 405$, $u_5 = 1215$, $u_6 = 3645$, $u_7 = 10935$ et leur somme vaut bien 16\,335.

$u_n = 5 \cdot (0{,}8)^n$ est géométrique de raison $q = 0{,}8$ avec $-1 < q < 1$ : $q^n \to 0$, donc $\lim u_n = 0$.

$v_n = 3 \cdot (1{,}05)^n$ est géométrique de raison $q = 1{,}05 > 1$ : $q^n \to +\infty$, donc $\lim v_n = +\infty$.

$w_n = \dfrac{3n + 1}{n + 4}$ est une indétermination du type $\dfrac{\infty}{\infty}$. On met $n$ en évidence : $w_n = \dfrac{n\,(3 + \frac{1}{n})}{n\,(1 + \frac{4}{n})} = \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n}} \to \dfrac{3}{1} = 3$.

$t_n = 7 - 2n$ est arithmétique de raison $r = -2 < 0$ : $\lim t_n = -\infty$.

Les termes $1 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4} ; \dots$ forment une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$, avec $-1 < q < 1$ : la somme converge. La somme des $n$ premiers termes est $S_n = \dfrac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2}$ et $(1/2)^n \to 0$, donc $S_n \to \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

Intérêts simples : $C_n = C_0\,(1 + i\,n)$. Ici $C_8 = 5000\,(1 + 0{,}03 \cdot 8) = 5000 \cdot 1{,}24 = 6\,200$ €. Le capital acquis est de $6\,200$ €.

Intérêts composés : $C_n = C_0\,(1 + i)^n$. Ici $C_8 = 5000 \cdot 1{,}03^8 \approx 6333{,}85$ €.

Intérêts simples : $6200 - 5000 = 1200$ €. Intérêts composés : $6333{,}85 - 5000 = 1333{,}85$ €. La différence vaut $1333{,}85 - 1200$, soit $133{,}85$ €.

Taux équivalents : $(1 + i_{\text{mensuel}})^{12} = 1 + i_{\text{annuel}} = 1{,}024$, donc $i_{\text{mensuel}} = 1{,}024^{1/12} - 1 \approx 0{,}001978$, soit environ $0{,}1978$ % par mois.

$30$ mois de placement : $C_{30} = 15000\,(1 + i_{\text{mensuel}})^{30} = 15000 \cdot 1{,}024^{30/12} \approx 15\,916{,}26$ €.

Intérêt total : $C_{30} - C_0 \approx 15\,916{,}26 - 15000 = 916{,}26$ €.

Notons $u_n$ le nombre d'abonnés $n$ années après 2022 : $u_0 = 32000$. Une baisse de $6\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}06 = 0{,}94$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}94$ et $u_n = 32000 \cdot 0{,}94^n$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $32000 \cdot 0{,}94^n < 12000$, c'est-à-dire $0{,}94^n < \dfrac{12000}{32000} = 0{,}375$. En prenant le logarithme (le nombre $0{,}94$ est inférieur à $1$, donc $\ln 0{,}94 < 0$ et le sens de l'inégalité s'inverse) : $n > \dfrac{\ln 0{,}375}{\ln 0{,}94} \approx 15{,}85$.

Le plus petit entier est $n = 16$. Contrôle : $u_{15} = 32000 \cdot 0{,}94^{15} \approx 12\,649$ et $u_{16} \approx 11\,890$, donc $u_{15} > 12000 > u_{16}$.

Année : $2022 + 16 = 2038$. L'éditeur arrêtera l'édition papier en 2038.

Il faut le taux par mois : $(1 + i)^{12} = 1{,}03$, donc $i = 1{,}03^{1/12} - 1 \approx 0{,}002466$, soit $0{,}2466$ % par mois.

$5$ ans de versements mensuels : $n = 60$. La valeur acquise lors du dernier versement est $V_n = a\,\dfrac{(1 + i)^n - 1}{i}$, soit $V_{60} = 120 \cdot \dfrac{(1 + i)^{60} - 1}{i} \approx 7749{,}72$ €.

Total versé : $60 \cdot 120 = 7\,200$ €. Intérêts : $7749{,}72 - 7200 = 549{,}72$ €.

Annuité constante : $a = C\,\dfrac{i}{1 - (1 + i)^{-n}} = 15000 \cdot \dfrac{0{,}045}{1 - 1{,}045^{-5}} \approx 3416{,}87$ €.

Première année, le capital dû est $15\,000$ € : intérêts $= 15000 \cdot 0{,}045 = 675{,}00$ €. Le reste de l'annuité rembourse du capital : $3416{,}87 - 675{,}00 = 2741{,}87$ €. Il reste dû $15000 - 2741{,}87 = 12\,258{,}13$ €.

En poursuivant le tableau : capital restant dû après la 2e annuité $\approx 9392{,}87$ €, après la 3e annuité $\approx 6398{,}67$ €. On retrouve ce solde comme la valeur, à ce moment, des deux annuités restantes : $a\,\dfrac{1 - 1{,}045^{-2}}{0{,}045} \approx 6398{,}67$ €.

Sans remboursement anticipé, il resterait à payer $2a \approx 6833{,}75$ € (avec la valeur non arrondie de $a$). En soldant, l'emprunteur verse 6398{,}67 € : l'économie d'intérêts est de $6833{,}75 - 6398{,}67 = 435{,}08$ €.