La Terre et le cosmos

Grandeur recherchée : le poids $P$. Formule : $P = m \cdot g$. Calcul : $P = 1\,200 \cdot 9{,}81 = 11772\,\mathrm{N}$.

$P = 1\,200 \cdot 1{,}62 = 1944\,\mathrm{N}$, soit environ six fois moins que sur la Terre.

La masse mesure la quantité de matière du module et son inertie : elle ne dépend pas de l'astre. Elle vaut toujours $1\,200\,\mathrm{kg}$ ; seul le poids (une force) change avec $g$.

Le faisceau fait un aller-retour : il parcourt $2d$ pendant $\Delta t = 2{,}60\,\mathrm{s}$. Formule : $2d = c \cdot \Delta t$, donc $d = \frac{c \cdot \Delta t}{2}$. Calcul : $d = \frac{3 \cdot 10^{8} \cdot 2{,}60}{2} = 3{,}9 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m}$, soit $390\,000\,\mathrm{km}$.

Le signal fait un aller simple pendant $12\,\mathrm{min} = 720\,\mathrm{s}$ : $d = c \cdot \Delta t = 3 \cdot 10^{8} \cdot 720 = 2{,}16 \cdot 10^{11}\,\mathrm{m}$, soit environ $2{,}2 \cdot 10^{11}\,\mathrm{m}$.

La galaxie à laquelle appartient le Soleil s'appelle la Voie lactée.

Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année : c'est une unité de distance.

Au cœur du Soleil, la température dépasse 10 millions de kelvins : des noyaux d'hydrogène fusionnent en noyaux d'hélium et libèrent de l'énergie.

La moitié de la Lune tournée vers le Soleil est toujours éclairée ; ce qu'on en voit depuis la Terre dépend de la position de la Lune par rapport à la Terre et au Soleil.

Formule de la loi de la gravitation universelle : $F = G\,\frac{m\,M}{d^2}$. Calcul : $F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{2{,}0 \cdot 10^{30} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(1{,}5 \cdot 10^{11})^2} \approx 3{,}6 \cdot 10^{22}\,\mathrm{N}$.

Avec $d' = 2d$, la force est divisée par $2^2 = 4$ : $F' = \frac{3{,}56 \cdot 10^{22}}{4} \approx 8{,}9 \cdot 10^{21}\,\mathrm{N}$.

D'après le principe des actions réciproques (3e loi de Newton), la Terre exerce sur le Soleil une force de même direction, de même valeur et de sens opposé : $3{,}6 \cdot 10^{22}\,\mathrm{N}$. Ces deux forces s'appliquent à deux objets différents : elles ne s'annulent pas.

Le poids d'un objet de masse $m$ est la force de gravitation exercée par la planète : $m\,g = G\,\frac{m\,M}{R^2}$. La masse $m$ se simplifie : $g = G\,\frac{M}{R^2}$, où $R$ est la distance jusqu'au centre de la planète.

Le rayon vaut $R = 2\,440\,\mathrm{km} = 2{,}44 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m}$. Calcul : $g = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{3{,}30 \cdot 10^{23}}{(2{,}44 \cdot 10^{6})^2} \approx 3{,}70\,\mathrm{N/kg}$.

$P = m \cdot g = 480 \cdot 3{,}70 \approx 1775\,\mathrm{N}$, soit environ $1{,}77 \cdot 10^{3}\,\mathrm{N}$.

Dans le modèle géocentrique (Ptolémée), la Terre est immobile au centre de l'Univers et les astres, dont le Soleil, tournent autour d'elle. Dans le modèle héliocentrique (Copernic), le Soleil est au centre et les planètes, dont la Terre, tournent autour de lui.

Par exemple : les phases de Vénus, observées par Galilée, qui s'expliquent bien si Vénus tourne autour du Soleil ; le mouvement de rétrogradation apparent de certaines planètes, très simple à expliquer si la Terre et les planètes tournent autour du Soleil ; le pendule de Foucault, qui montre la rotation de la Terre.

Un modèle est une représentation qui explique les observations connues. Quand de nouvelles observations ne s'accordent pas avec lui, on le modifie ou on le remplace par un modèle qui explique plus de faits : c'est ce qui s'est passé entre Ptolémée, Tycho Brahé, Copernic et Kepler.

$z = 20\,200\,\mathrm{km} = 2{,}02 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m}$, donc $R + z = 6{,}4 \cdot 10^{6} + 2{,}02 \cdot 10^{7} = 2{,}66 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m}$. Formule : $g_z = g_0\,\frac{R^2}{(R + z)^2}$. Calcul : $g_z = 9{,}81 \cdot \left(\frac{6{,}4 \cdot 10^{6}}{2{,}66 \cdot 10^{7}}\right)^2 \approx 0{,}57\,\mathrm{N/kg}$.

$P = m \cdot g_z = 1\,600 \cdot 0{,}568 \approx 909\,\mathrm{N}$. Au sol, le poids serait $1\,600 \cdot 9{,}81 = 15\,696\,\mathrm{N}$.

$\frac{g_0}{g_z} = \frac{(R + z)^2}{R^2} = \left(\frac{2{,}66 \cdot 10^{7}}{6{,}4 \cdot 10^{6}}\right)^2 \approx 17{,}3$ : le poids est environ 17 fois plus faible qu'au sol.

Les rayons du Soleil sont parallèles. Chaque bâton vertical est dans la direction d'un rayon de la Terre ; l'angle que fait le bâton avec les rayons du Soleil mesure donc la position de la ville par rapport à la direction du Soleil. L'angle entre les deux rayons de la Terre, à partir du centre, est la différence : $\theta = 46{,}0 - 41{,}0 = 5{,}0°$.

L'arc AB de $555\,\mathrm{km}$ correspond à $5{,}0°$ ; le tour complet correspond à $360°$. Règle de trois : $C = 555 \cdot \frac{360}{5{,}0} = 39960\,\mathrm{km}$, soit environ $4{,}0 \cdot 10^{4}\,\mathrm{km}$.

$C = 2\pi R$, donc $R = \frac{C}{2\pi} = \frac{39\,960}{2\pi} \approx 6360\,\mathrm{km}$, soit environ $6{,}4 \cdot 10^{3}\,\mathrm{km}$.

Formule : $v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$. Calcul : $v = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{30}}{1{,}50 \cdot 10^{11}}} \approx 29822\,\mathrm{m/s}$, soit $29{,}8\,\mathrm{km/s}$.

$v = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{30}}{2{,}28 \cdot 10^{11}}} \approx 24189\,\mathrm{m/s}$, soit $24{,}2\,\mathrm{km/s}$.

Mars, dont l'orbite est plus grande que celle de la Terre, a une vitesse orbitale plus faible ($24{,}2\,\mathrm{km/s}$ contre $29{,}8\,\mathrm{km/s}$). La vitesse orbitale d'une planète diminue quand le rayon de son orbite augmente : plus une planète est loin du Soleil, moins l'attraction est forte et plus elle va lentement.

Grandeur recherchée : la distance parcourue par la lumière en 1 an. Formule : $d = c \cdot \Delta t$. Calcul : $d = 3 \cdot 10^{8} \cdot 3{,}154 \cdot 10^{7} \approx 9{,}46 \cdot 10^{15}\,\mathrm{m}$.

$d = 4{,}2 \cdot 9{,}46 \cdot 10^{15} \approx 4{,}0 \cdot 10^{16}\,\mathrm{m}$.

$v = 60\,\mathrm{km/s} = 6{,}0 \cdot 10^{4}\,\mathrm{m/s}$. Durée : $\Delta t = \frac{d}{v} = \frac{3{,}97 \cdot 10^{16}}{6{,}0 \cdot 10^{4}} \approx 6{,}6 \cdot 10^{11}\,\mathrm{s}$. En années : $\frac{6{,}6 \cdot 10^{11}}{3{,}154 \cdot 10^{7}} \approx 2{,}1 \cdot 10^{4}\,\mathrm{ans}$, soit environ 21 000 ans.

La lumière met 4,2 ans pour venir de Proxima du Centaure jusqu'à nous : elle a été émise il y a 4,2 ans. Nous voyons donc l'étoile telle qu'elle était il y a 4,2 ans, pas telle qu'elle est aujourd'hui.

L'énergie absorbée par la Terre vaut $342 - 100 = 242\,\mathrm{W/m^2}$, à peu près égale à l'énergie rayonnée vers l'espace ($240\,\mathrm{W/m^2}$). Comme l'énergie reçue est égale à l'énergie renvoyée, la Terre est en équilibre thermique et sa température moyenne reste constante (15 °C).

Le sol, chauffé par le rayonnement solaire, émet un rayonnement infrarouge. Certains gaz de l'atmosphère (essentiellement la vapeur d'eau, mais aussi le dioxyde de carbone, le méthane...) absorbent une partie de cet infrarouge et en renvoient une partie vers le sol : la surface est plus chaude que sans ces gaz. Cet effet naturel rend la Terre habitable.

Une concentration plus élevée en dioxyde de carbone augmente l'absorption de l'infrarouge et le rayonnement renvoyé vers le sol : l'effet de serre est renforcé et la température moyenne de la Terre augmente, jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre entre énergie reçue et énergie rayonnée soit atteint.

Une nébuleuse (nuage de gaz et de poussières) s'effondre sous l'effet de la gravitation. Cet effondrement fait monter la température et la pression au centre. Quand la température dépasse $10^{7}\,\mathrm{K}$, la fusion de l'hydrogène en hélium s'allume : l'étoile brille.

La gravitation tend à faire s'effondrer le Soleil sur lui-même, alors que les forces dues aux réactions thermonucléaires tendent à le faire exploser. Ces deux effets s'équilibrent : le Soleil est stable pendant des milliards d'années.

Dans une fusion, deux noyaux légers s'associent pour former un noyau plus lourd, à très haute température (hydrogène en hélium dans les étoiles). Dans une fission, un noyau lourd (uranium 235, frappé par un neutron) se casse en noyaux plus légers. Dans les deux cas, la masse des produits est inférieure à celle de départ et de l'énergie est libérée.

La Terre est à une distance du Soleil qui donne une température moyenne modérée (15 °C), entre les $464\,°\mathrm{C}$ de Vénus et les $-63\,°\mathrm{C}$ de Mars. Son atmosphère a une pression modérée (1, contre 92 pour Vénus et 0,006 pour Mars), ce qui permet à l'eau de rester liquide à la surface.

L'atmosphère de Vénus est très dense (pression 92 fois celle de la Terre) et composée à 96 % de dioxyde de carbone. Ce gaz absorbe le rayonnement infrarouge émis par le sol et en renvoie une grande partie vers la surface : l'effet de serre est très intense et la surface atteint 464 °C, alors que Vénus n'est qu'un peu plus proche du Soleil que la Terre.

Sans effet de serre, la Terre ne garderait pas assez de l'énergie qu'elle reçoit et serait beaucoup plus froide (bien en dessous de 0 °C). L'effet de serre naturel, dû surtout à la vapeur d'eau et au dioxyde de carbone, maintient une température moyenne de 15 °C compatible avec l'eau liquide et la vie.

$r = R_T + z = 6{,}4 \cdot 10^{6} + 4{,}0 \cdot 10^{5} = 6{,}8 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m}$.

Formule : $v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$. Calcul : $v = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6{,}8 \cdot 10^{6}}} \approx 7672\,\mathrm{m/s}$, soit $27618\,\mathrm{km/h}$ (on multiplie par 3,6).

Un tour est un cercle de longueur $2\pi r$, parcouru à la vitesse constante $v$ : $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 6{,}8 \cdot 10^{6}}{7672} \approx 5569\,\mathrm{s}$, soit $\frac{5569}{60} \approx 93\,\mathrm{min}$.