Intégrale

Notion	Cours	Exercices
Primitives usuelles	Disponible	3
Intégrale définie	Disponible	6
Aires	Disponible	2
Volumes	Disponible	2

Primitives usuelles

Une primitive de f est une fonction F telle que F' = f. On ajoute une constante.

À retenir

Repère 1: $F' = f$
Repère 2: primitive de $x^n$ ( $n \neq -1$ ) : $\frac{x^{n+1}}{n + 1} + C$
Repère 3: primitive de $\frac{1}{x}$ : $\ln|x| + C$
Repère 4: primitive de $e^x$ : $e^x + C$
Repère 5: primitive de $\cos x$ : $\sin x + C$
Repère 6: primitive de $\sin x$ : $-\cos x + C$

Méthode

Puissance, inverse, exp, sin, cos. La constante est obligatoire.
Primitive d'une somme, et facteur constant qui sort.

Exemple expliqué

Déterminer les primitives suivantes.

a) Primitive d'un polynôme. Une primitive d'une somme est la somme des primitives, et $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ : $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + x + C = x^3 - 2x^2 + x + C$ . On contrôle en dérivant : $(x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$ .
b) Primitives usuelles. $(e^x)' = e^x$ et $(-\cos x)' = \sin x$ , donc $\displaystyle\int (e^x + \sin x)\,dx = e^x - \cos x + C$ .
c) Primitive avec condition. Les primitives de $f$ sont $F(x) = e^x + x^2 + C$ . La condition $F(0) = 3$ donne $e^0 + 0 + C = 3$ , donc $C = 2$ et $F(x) = e^x + x^2 + 2$ .

a) $x^3 - 2x^2 + x + C$ ; b) $e^x - \cos x + C$ ; c) $F(x) = e^x + x^2 + 2$

Intégrale définie

L'intégrale de a à b est le bilan des aires algébriques. On la calcule par une primitive.

À retenir

Repère 1: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Repère 2: linéarité, relation de Chasles, positivité si $f \ge 0$

Méthode

Théorème fondamental : lien intégrale définie ↔ primitive.
Cas simples. En scientifiques, le changement de variable et l'intégration par parties sont au programme.
FESeC : Darboux pour aires/volumes ; Riemann pour longueur d’arc.
Propriétés de linéarité, croissance, additivité ; théorème de la moyenne.

Exemple expliqué

On considère une fonction $f$ dont la courbe représentative, tracée dans un repère orthonormé, est la ligne brisée qui joint successivement les points $A(-2 ; 0)$ , $B(0 ; 2)$ , $C(3 ; 2)$ et $D(5 ; -1)$ .

Lecture du graphique. Sur $[-2 ; 0]$ , $f$ est affine de $0$ à $2$ ; sur $[0 ; 3]$ , $f$ est constante égale à $2$ ; sur $[3 ; 5]$ , $f$ décroît de $2$ à $-1$ (pente $-\dfrac{3}{2}$ ) et s'annule en $x = \dfrac{13}{3}$ .
a). Triangle de base $2$ et de hauteur $2$ : aire $2$ ; rectangle de côtés $3$ et $2$ : aire $6$ . Donc $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = 2 + 6 = 8$ .
b). Sur $[3 ; \dfrac{13}{3}]$ , $f \geq 0$ : triangle d'aire $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 2 = \dfrac{4}{3}$ . Sur $[\dfrac{13}{3} ; 5]$ , $f \leq 0$ : triangle d'aire $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}$ , à compter négativement. Donc $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,dx = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} = 1$ (on retrouve l'aire du trapèze algébrique $\dfrac{2 + (-1)}{2} \times 2 = 1$ ).
c). Par la relation de Chasles, $\displaystyle\int_{-2}^{5} f(x)\,dx = \int_{-2}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx = 8 + 1 = 9$ .
d). Une aire est positive : on additionne les aires géométriques, la partie sous l'axe étant comptée positivement. Aire $= 8 + \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{29}{3}$ unités d'aire (environ $9{,}67$ ), différente de l'intégrale $9$ parce que $f$ change de signe.

a) $8$ ; b) $1$ ; c) $9$ ; d) $\dfrac{29}{3}$ unités d'aire

Aires

L'aire entre la courbe et l'axe est l'intégrale de |f|. Entre deux courbes, on intègre la différence, du bon côté.

À retenir

Repère 1: aire entre $f$ et l'axe, $f \ge 0$ : $\int_a^b f(x)\,dx$
Repère 2: aire entre $f$ et $g$ : $\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$
Repère 3: $L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx$

Méthode

On cherche les intersections, puis on intègre la fonction du dessus moins celle du dessous.
FESeC : surfaces comprises entre plusieurs courbes ; découper aux intersections.
FESeC scientifiques : approximation par ligne polygonale / sommes de Riemann pour une longueur d’arc.

Exemple expliqué

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 4x$ . Dans un repère orthonormé, $\mathcal{D}$ est le domaine limité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x = 3$ .

a) Aire algébrique. Une primitive de $f$ est $F(x) = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2$ . $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = F(3) - F(-2) = \left(\dfrac{81}{4} - 18\right) - (4 - 8) = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}$ .
b) Signe de $f$ . $f(x) = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$ s'annule en $-2$ , $0$ et $2$ . Sur $[-2 ; 3]$ : $f(x) \geq 0$ sur $[-2 ; 0]$ (par exemple $f(-1) = 3$ ), $f(x) \leq 0$ sur $[0 ; 2]$ (par exemple $f(1) = -3$ ) et $f(x) \geq 0$ sur $[2 ; 3]$ (par exemple $f(3) = 15$ ).
b) Calcul de l'aire. Avec $F(-2) = -4$ , $F(0) = 0$ , $F(2) = -4$ et $F(3) = \dfrac{9}{4}$ : $\displaystyle\int_{-2}^{0} f = F(0) - F(-2) = 4$ ; $\displaystyle\int_{0}^{2} f = F(2) - F(0) = -4$ , dont la valeur absolue est $4$ ; $\displaystyle\int_{2}^{3} f = F(3) - F(2) = \dfrac{25}{4}$ . Aire de $\mathcal{D} = 4 + 4 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{57}{4}$ unités d'aire (soit $14{,}25$ ).
c) Interprétation. L'intégrale de la question a) additionne des aires algébriques : la partie de $\mathcal{D}$ sous l'axe (entre $0$ et $2$ ) compte négativement, ce qui donne $4 - 4 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{25}{4}$ . L'aire est toujours positive : on additionne les trois aires, $\dfrac{57}{4}$ .

a) $\dfrac{25}{4}$ ; b) $\dfrac{57}{4}$ unités d'aire ; c) $f$ change de signe

Volumes

Volume d'un solide de révolution, dans l'UAA Intégrale. En 4 h, l'axe est l'axe des abscisses. En 6 h, et donc en 8 h, l'axe est parallèle à un axe du repère.

À retenir

Repère 1: autour de l'axe des abscisses : $V = \pi \int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx$
Repère 2: unité : le volume du cylindre de rayon $1$ et de hauteur $1$
Repère 3: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (axe $Ox$ )

Méthode

On élève l'ordonnée au carré, on multiplie par π, on intègre.
Sommes de Darboux pour approcher aires et volumes par défaut / par excès.

Exemple expliqué

Dans un repère orthonormé, on fait tourner autour de l'axe des abscisses une surface plane ; on obtient un solide de révolution. L'unité de longueur est le décimètre.

Formule. Le solide engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la surface sous la courbe de $f \geq 0$ entre $x = a$ et $x = b$ a pour volume $V = \pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (somme, à la limite, de volumes de cylindres de rayon $f(x)$ et de hauteur $dx$ ).
a) Solide plein. $V = \pi \displaystyle\int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi \int_0^2 x^4\,dx = \pi \left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2 = \dfrac{32\pi}{5}$ dm $^3$ (environ $20{,}11$ dm $^3$ ).
b) Solide creux : intersections. $x = x^2 \iff x(x - 1) = 0$ : les courbes se coupent en $x = 0$ et en $x = 1$ . Sur $[0 ; 1]$ , $x \geq x^2$ : la droite est la frontière extérieure et la parabole la frontière intérieure.
b) Solide creux : volume. $V = \pi \displaystyle\int_0^1 \left(x^2 - (x^2)^2\right)dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{15}$ dm $^3$ (environ $0{,}42$ dm $^3$ ).

a) $\dfrac{32\pi}{5}\ \text{dm}^3$ ; b) $\dfrac{2\pi}{15}\ \text{dm}^3$

Exercice 1

Déterminer les primitives suivantes.

a.
$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx$
$\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx$
b.
$\displaystyle\int (e^x + \sin x)\,dx$
$\int (e^x + \sin x)\,dx$
c.
Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = e^x + 2x$ qui vérifie $F(0) = 3$ .
$e^x + x^2 + C, \quad F(0) = 3$

Voir la correction

a) Primitive d'un polynôme
Une primitive d'une somme est la somme des primitives, et $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ : $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + x + C = x^3 - 2x^2 + x + C$ . On contrôle en dérivant : $(x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$ .
b) Primitives usuelles
$(e^x)' = e^x$ et $(-\cos x)' = \sin x$ , donc $\displaystyle\int (e^x + \sin x)\,dx = e^x - \cos x + C$ .
c) Primitive avec condition
Les primitives de $f$ sont $F(x) = e^x + x^2 + C$ . La condition $F(0) = 3$ donne $e^0 + 0 + C = 3$ , donc $C = 2$ et $F(x) = e^x + x^2 + 2$ .

a) $x^3 - 2x^2 + x + C$ ; b) $e^x - \cos x + C$ ; c) $F(x) = e^x + x^2 + 2$

Barème de cet exercice

a : Utiliser la linéarité et les primitives de $x^n$ : $x^3 - 2x^2 + x$ (1 point)
a : Ajouter la constante $C$ (1 point)
b : Primitives usuelles : $e^x$ et $-\cos x$ (1 point)
b : Ajouter la constante $C$ (1 point)
c : Primitives de $f$ : $e^x + x^2 + C$ (1 point)
c : Utiliser la condition $F(0) = 1 + C = 3$ (1 point)
c : $F(x) = e^x + x^2 + 2$ (1 point)

Exercice 2

Déterminer les primitives suivantes.

a.
$\displaystyle\int \sin(2x - 5)\,dx$
$\int \sin(2x - 5)\,dx$
b.
$\displaystyle\int \dfrac{1}{2x + 1}\,dx$ sur $\left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$
$\int \frac{1}{2x + 1}\,dx$
c.
$\displaystyle\int e^{-3x + 2}\,dx$
$\int e^{-3x + 2}\,dx$
d.
$\displaystyle\int (4x - 1)^3\,dx$
$\int (4x - 1)^3\,dx$

Voir la correction

Principe
Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $x \mapsto \dfrac{1}{a}F(ax + b)$ est une primitive de $x \mapsto f(ax + b)$ (on le contrôle en dérivant : la dérivée de la composée fait apparaître le facteur $a$ ).
a)
$\displaystyle\int \sin(2x - 5)\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos(2x - 5) + C$ .
b)
$\displaystyle\int \dfrac{1}{2x + 1}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x + 1| + C = \dfrac{1}{2}\ln(2x + 1) + C$ car $2x + 1 > 0$ sur l'intervalle.
c)
$\displaystyle\int e^{-3x + 2}\,dx = \dfrac{1}{-3}\,e^{-3x + 2} + C = -\dfrac{1}{3}e^{-3x + 2} + C$ .
d)
$\displaystyle\int (4x - 1)^3\,dx = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{(4x - 1)^4}{4} + C = \dfrac{(4x - 1)^4}{16} + C$ .

a) $-\dfrac{1}{2}\cos(2x - 5) + C$ ; b) $\dfrac{1}{2}\ln(2x + 1) + C$ ; c) $-\dfrac{1}{3}e^{-3x + 2} + C$ ; d) $\dfrac{(4x - 1)^4}{16} + C$

Barème de cet exercice

a : Reconnaître la primitive de $\sin$ composée avec une fonction affine (1 point)
a : Diviser par le coefficient de $x$ : $-\dfrac{1}{2}\cos(2x - 5) + C$ (1 point)
b : Reconnaître la forme $\dfrac{1}{u}$ avec $u = 2x + 1$ (1 point)
b : $\dfrac{1}{2}\ln(2x + 1) + C$ (valeur absolue inutile car $2x + 1 > 0$ ) (1 point)
c : Reconnaître la primitive de $e^{u}$ avec $u = -3x + 2$ (1 point)
c : Diviser par $-3$ : $-\dfrac{1}{3}e^{-3x + 2} + C$ (1 point)
d : Reconnaître la primitive de $u^3$ avec $u = 4x - 1$ : $\dfrac{u^4}{4}$ (1 point)
d : Diviser par le coefficient 4 : $\dfrac{(4x - 1)^4}{16} + C$ (1 point)

Exercice 3

On considère la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = x \ln x - x$ .

a.
Calculer $F'(x)$ et en déduire que $F$ est une primitive de la fonction $f(x) = \ln x$ sur $]0 ; +\infty[$ .
$(x \ln x - x)'$
b.
En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$ .
$\int_1^e \ln x\,dx$

Voir la correction

a) Dérivée de $F$
$F$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et, avec la dérivée d'un produit, $F'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ . Comme $F'(x) = f(x)$ pour tout $x > 0$ , $F$ est une primitive de $f$ .
b) Intégrale définie
D'après le théorème fondamental, $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = F(e) - F(1) = (e \ln e - e) - (1 \cdot \ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$ .

a) $F'(x) = \ln x$ ; b) $1$

Barème de cet exercice

a : Dériver le produit $x \ln x$ : $\ln x + x \cdot \dfrac{1}{x}$ (1 point)
a : Simplifier : $F'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ (1 point)
a : Conclure : $F' = f$ , donc $F$ est une primitive de $f$ (1 point)
b : Utiliser $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (1 point)
b : $F(e) - F(1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$ (1 point)

Exercice 4

On considère une fonction $f$ dont la courbe représentative, tracée dans un repère orthonormé, est la ligne brisée qui joint successivement les points $A(-2 ; 0)$ , $B(0 ; 2)$ , $C(3 ; 2)$ et $D(5 ; -1)$ .

a.
Déterminer la valeur de $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$ .
$\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$
b.
Déterminer la valeur de $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,dx$ .
$\int_{3}^{5} f(x)\,dx$
c.
En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{-2}^{5} f(x)\,dx$ en justifiant.
$\int_{-2}^{5} f(x)\,dx$
d.
Calculer l'aire (en unités d'aire) du domaine limité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x = 5$ .
$\int_{-2}^{5} |f(x)|\,dx$

Voir la correction

Lecture du graphique
Sur $[-2 ; 0]$ , $f$ est affine de $0$ à $2$ ; sur $[0 ; 3]$ , $f$ est constante égale à $2$ ; sur $[3 ; 5]$ , $f$ décroît de $2$ à $-1$ (pente $-\dfrac{3}{2}$ ) et s'annule en $x = \dfrac{13}{3}$ .
a)
Triangle de base $2$ et de hauteur $2$ : aire $2$ ; rectangle de côtés $3$ et $2$ : aire $6$ . Donc $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = 2 + 6 = 8$ .
b)
Sur $[3 ; \dfrac{13}{3}]$ , $f \geq 0$ : triangle d'aire $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 2 = \dfrac{4}{3}$ . Sur $[\dfrac{13}{3} ; 5]$ , $f \leq 0$ : triangle d'aire $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}$ , à compter négativement. Donc $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,dx = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} = 1$ (on retrouve l'aire du trapèze algébrique $\dfrac{2 + (-1)}{2} \times 2 = 1$ ).
c)
Par la relation de Chasles, $\displaystyle\int_{-2}^{5} f(x)\,dx = \int_{-2}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx = 8 + 1 = 9$ .
d)
Une aire est positive : on additionne les aires géométriques, la partie sous l'axe étant comptée positivement. Aire $= 8 + \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{29}{3}$ unités d'aire (environ $9{,}67$ ), différente de l'intégrale $9$ parce que $f$ change de signe.

a) $8$ ; b) $1$ ; c) $9$ ; d) $\dfrac{29}{3}$ unités d'aire

Barème de cet exercice

a : Interpréter l'intégrale comme l'aire algébrique, décomposée en triangle $[-2 ; 0]$ et rectangle $[0 ; 3]$ (1 point)
a : $2 + 6 = 8$ (1 point)
b : Repérer le changement de signe de $f$ sur $[3 ; 5]$ (la droite $CD$ coupe l'axe en $x = \dfrac{13}{3}$ ) (1 point)
b : Aire au-dessus de l'axe $\dfrac{4}{3}$ et aire en dessous $\dfrac{1}{3}$ , comptée négativement (ou trapèze $\dfrac{2 + (-1)}{2} \times 2$ ) (1 point)
b : $\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3} = 1$ (1 point)
c : Utiliser la relation de Chasles : $\displaystyle\int_{-2}^{5} = \int_{-2}^{3} + \int_{3}^{5}$ (1 point)
c : $8 + 1 = 9$ (1 point)
d : Comprendre qu'une aire est positive : compter en valeur absolue la partie sous l'axe (1 point)
d : Aire $= 8 + \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3}$ (1 point)
d : Résultat $\dfrac{29}{3}$ unités d'aire (1 point)

Exercice 5

On souhaite encadrer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe de la fonction $f(x) = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ . On partage l'intervalle $[0 ; 1]$ en 4 intervalles de même longueur $\dfrac{1}{4}$ . Sur chacun d'eux, on construit un rectangle inscrit dans $\mathcal{D}$ (hauteur égale à la plus petite valeur de $f$ sur l'intervalle) et un rectangle circonscrit à $\mathcal{D}$ (hauteur égale à la plus grande valeur de $f$ ).

a.
Calculer la somme $s_4$ des aires des 4 rectangles inscrits (arrondir au centième).
$\frac{1}{4}\left(f(0) + f\left(\frac{1}{4}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{3}{4}\right)\right)$
b.
Calculer la somme $S_4$ des aires des 4 rectangles circonscrits (arrondir au centième).
$\frac{1}{4}\left(f\left(\frac{1}{4}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{3}{4}\right) + f(1)\right)$
c.
Calculer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{D}$ par une intégrale et vérifier qu'elle est comprise entre $s_4$ et $S_4$ .
$\int_0^1 x^2\,dx$

Voir la correction

Rectangles inscrits et circonscrits
$f(x) = x^2$ est croissante sur $[0 ; 1]$ : sur chaque intervalle $[x_k ; x_{k+1}]$ , la plus petite valeur est $f(x_k)$ et la plus grande $f(x_{k+1})$ . Les intervalles sont $\left[0 ; \dfrac{1}{4}\right]$ , $\left[\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right]$ , $\left[\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{4}\right]$ , $\left[\dfrac{3}{4} ; 1\right]$ .
a) Rectangles inscrits
$s_4 = \dfrac{1}{4}\left[f(0) + f\left(\dfrac{1}{4}\right) + f\left(\dfrac{1}{2}\right) + f\left(\dfrac{3}{4}\right)\right] = \dfrac{1}{4}\left(0 + \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16}\right) = \dfrac{14}{64} = \dfrac{7}{32} \approx 0{,}22$ .
b) Rectangles circonscrits
$S_4 = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16} + \dfrac{16}{16}\right) = \dfrac{30}{64} = \dfrac{15}{32} \approx 0{,}47$ .
c) Valeur exacte
Aire de $\mathcal{D}$ $= \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ . On a bien $0{,}22 < 0{,}33 < 0{,}47$ . En augmentant le nombre de rectangles, $s_n$ et $S_n$ se rapprochent de $\dfrac{1}{3}$ : c'est la définition de l'intégrale comme limite d'une somme.

a) $\dfrac{7}{32} \approx 0{,}22$ ; b) $\dfrac{15}{32} \approx 0{,}47$ ; c) $\dfrac{1}{3}$

Barème de cet exercice

a : Hauteurs des rectangles inscrits : $f(0)$ , $f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ , $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , $f\left(\dfrac{3}{4}\right)$ (1 point)
a : $s_4 = \dfrac{1}{4}\left(0 + \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16}\right) = \dfrac{7}{32} \approx 0{,}22$ (1 point)
b : Hauteurs des rectangles circonscrits : $f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ , $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , $f\left(\dfrac{3}{4}\right)$ , $f(1)$ (1 point)
b : $S_4 = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16} + \dfrac{16}{16}\right) = \dfrac{15}{32} \approx 0{,}47$ (1 point)
c : Écrire l'aire $= \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ et une primitive $\dfrac{x^3}{3}$ (1 point)
c : Calculer $\dfrac{1}{3}$ (1 point)
c : Comparer : $\dfrac{7}{32} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{15}{32}$ (1 point)

Exercice 6

Calculer les intégrales suivantes.

a.
$\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 2x + 3)\,dx$
$\int_0^2 (x^2 - 2x + 3)\,dx$
b.
$\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 + x)\,dx$ (une justification par la symétrie de la fonction est acceptée)
$\int_{-1}^{1} (x^3 + x)\,dx$
c.
$\displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
$\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
d.
Sachant que $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5$ et que $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx = 2$ , calculer $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$ en justifiant.
$\int_0^3 f - \int_2^3 f$

Voir la correction

a) Intégrale d'un polynôme
Une primitive de $x^2 - 2x + 3$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x$ . $\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 2x + 3)\,dx = F(2) - F(0) = \dfrac{8}{3} - 4 + 6 - 0 = \dfrac{14}{3}$ .
b) Fonction impaire
$f(x) = x^3 + x$ est impaire ( $f(-x) = -f(x)$ ) et l'intervalle $[-1 ; 1]$ est symétrique par rapport à $0$ : les aires algébriques de part et d'autre de l'origine se compensent, donc l'intégrale vaut $0$ . Par le calcul : $\left[\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4} = 0$ .
c) Puissance rationnelle
$\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ a pour primitive $\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$ . $\displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$ .
d) Relation de Chasles
$\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^3 f(x)\,dx$ , donc $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5 - 2 = 3$ .

a) $\dfrac{14}{3}$ ; b) $0$ ; c) $2$ ; d) $3$

Barème de cet exercice

a : Primitive $\dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x$ (1 point)
a : $F(2) - F(0) = \dfrac{8}{3} - 4 + 6 = \dfrac{14}{3}$ (1 point)
b : Reconnaître une fonction impaire sur un intervalle symétrique, ou calculer la primitive $\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^2}{2}$ (1 point)
b : Conclure que l'intégrale vaut $0$ (1 point)
c : Écrire $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ et une primitive $2\sqrt{x}$ (1 point)
c : $2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2$ (1 point)
d : Relation de Chasles : $\displaystyle\int_0^3 = \int_0^2 + \int_2^3$ (1 point)
d : $5 - 2 = 3$ (1 point)

Exercice 7

Calculer les intégrales suivantes en utilisant un changement de variable (ou une substitution). Justifier chaque étape.

a.
$\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx$
$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$
b.
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x\,\cos^2 x\,dx$
$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos^2 x\,dx$
c.
$\displaystyle\int_1^e \dfrac{(\ln x)^3}{x}\,dx$
$\int_1^e \frac{(\ln x)^3}{x}\,dx$

Voir la correction

a) $u = x^2$
On pose $u = x^2$ , donc $du = 2x\,dx$ et $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ . Bornes : $x = 0 \Rightarrow u = 0$ et $x = 1 \Rightarrow u = 1$ . $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \dfrac{1}{2}\big[e^u\big]_0^1 = \dfrac{e - 1}{2}$ .
b) $u = \cos x$
On pose $u = \cos x$ , donc $du = -\sin x\,dx$ . Bornes : $x = 0 \Rightarrow u = 1$ et $x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u = 0$ . $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x\,\cos^2 x\,dx = -\int_1^0 u^2\,du = \int_0^1 u^2\,du = \left[\dfrac{u^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$ .
c) $u = \ln x$
On pose $u = \ln x$ , donc $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ . Bornes : $x = 1 \Rightarrow u = 0$ et $x = e \Rightarrow u = 1$ . $\displaystyle\int_1^e \dfrac{(\ln x)^3}{x}\,dx = \int_0^1 u^3\,du = \left[\dfrac{u^4}{4}\right]_0^1 = \dfrac{1}{4}$ .

a) $\dfrac{e - 1}{2}$ ; b) $\dfrac{1}{3}$ ; c) $\dfrac{1}{4}$

Barème de cet exercice

a : Poser $u = x^2$ , $du = 2x\,dx$ (1 point)
a : Adapter les bornes ( $0 \to 0$ , $1 \to 1$ ) : $\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du$ (1 point)
a : Calculer $\dfrac{e - 1}{2}$ (1 point)
b : Poser $u = \cos x$ , $du = -\sin x\,dx$ (1 point)
b : Adapter les bornes ( $0 \to 1$ , $\dfrac{\pi}{2} \to 0$ ) : $\displaystyle\int_0^1 u^2\,du$ (1 point)
b : Calculer $\dfrac{1}{3}$ (1 point)
c : Poser $u = \ln x$ , $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ (1 point)
c : Adapter les bornes ( $1 \to 0$ , $e \to 1$ ) : $\displaystyle\int_0^1 u^3\,du$ (1 point)
c : Calculer $\dfrac{1}{4}$ (1 point)

Exercice 8

Déterminer une primitive, puis calculer les intégrales, à l'aide de l'intégration par parties.

a.
Déterminer les primitives de $f(x) = x\,e^{-x}$ .
$\int x e^{-x}\,dx$
b.
$\displaystyle\int_1^e x \ln x\,dx$
$\int_1^e x \ln x\,dx$
c.
$\displaystyle\int_0^{\pi} x \sin x\,dx$
$\int_0^{\pi} x \sin x\,dx$

Voir la correction

a) Primitive de $x e^{-x}$
On pose $u = x$ et $v' = e^{-x}$ ; alors $u' = 1$ et $v = -e^{-x}$ . $\displaystyle\int x\,e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)\,e^{-x} + C$ . Contrôle : $\big(-(x + 1)e^{-x}\big)' = -e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = x\,e^{-x}$ .
b) $\int_1^e x \ln x\,dx$
On pose $u = \ln x$ et $v' = x$ ; alors $u' = \dfrac{1}{x}$ et $v = \dfrac{x^2}{2}$ . $\displaystyle\int_1^e x \ln x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx = \dfrac{e^2}{2} - \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}$ .
c) $\int_0^{\pi} x \sin x\,dx$
On pose $u = x$ et $v' = \sin x$ ; alors $u' = 1$ et $v = -\cos x$ . $\displaystyle\int_0^{\pi} x \sin x\,dx = \big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx = \pi + \big[\sin x\big]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi$ .

a) $-(x + 1)e^{-x} + C$ ; b) $\dfrac{e^2 + 1}{4}$ ; c) $\pi$

Barème de cet exercice

a : Choisir $u = x$ et $v' = e^{-x}$ , donc $u' = 1$ et $v = -e^{-x}$ (1 point)
a : Appliquer $\int u\,v' = u\,v - \int u'\,v$ (1 point)
a : $-(x + 1)e^{-x} + C$ (1 point)
b : Choisir $u = \ln x$ et $v' = x$ , donc $u' = \dfrac{1}{x}$ et $v = \dfrac{x^2}{2}$ (1 point)
b : Appliquer la formule et simplifier : $\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \displaystyle\int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx$ (1 point)
b : Calculer les deux termes : $\dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4}$ (1 point)
b : Résultat $\dfrac{e^2 + 1}{4}$ (1 point)
c : Choisir $u = x$ et $v' = \sin x$ , donc $u' = 1$ et $v = -\cos x$ (1 point)
c : $\big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \displaystyle\int_0^{\pi} \cos x\,dx$ (1 point)
c : Calculer $\pi + 0 = \pi$ (1 point)

Exercice 9

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 4x$ . Dans un repère orthonormé, $\mathcal{D}$ est le domaine limité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x = 3$ .

a.
Calculer $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$ .
$\int_{-2}^{3} (x^3 - 4x)\,dx$
b.
Étudier le signe de $f$ sur $[-2 ; 3]$ , puis calculer l'aire de $\mathcal{D}$ en unités d'aire.
$\int_{-2}^{3} |x^3 - 4x|\,dx$
c.
Expliquer pourquoi les résultats des questions a) et b) sont différents.

Voir la correction

a) Aire algébrique
Une primitive de $f$ est $F(x) = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2$ . $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = F(3) - F(-2) = \left(\dfrac{81}{4} - 18\right) - (4 - 8) = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}$ .
b) Signe de $f$
$f(x) = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$ s'annule en $-2$ , $0$ et $2$ . Sur $[-2 ; 3]$ : $f(x) \geq 0$ sur $[-2 ; 0]$ (par exemple $f(-1) = 3$ ), $f(x) \leq 0$ sur $[0 ; 2]$ (par exemple $f(1) = -3$ ) et $f(x) \geq 0$ sur $[2 ; 3]$ (par exemple $f(3) = 15$ ).
b) Calcul de l'aire
Avec $F(-2) = -4$ , $F(0) = 0$ , $F(2) = -4$ et $F(3) = \dfrac{9}{4}$ : $\displaystyle\int_{-2}^{0} f = F(0) - F(-2) = 4$ ; $\displaystyle\int_{0}^{2} f = F(2) - F(0) = -4$ , dont la valeur absolue est $4$ ; $\displaystyle\int_{2}^{3} f = F(3) - F(2) = \dfrac{25}{4}$ . Aire de $\mathcal{D} = 4 + 4 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{57}{4}$ unités d'aire (soit $14{,}25$ ).
c) Interprétation
L'intégrale de la question a) additionne des aires algébriques : la partie de $\mathcal{D}$ sous l'axe (entre $0$ et $2$ ) compte négativement, ce qui donne $4 - 4 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{25}{4}$ . L'aire est toujours positive : on additionne les trois aires, $\dfrac{57}{4}$ .

a) $\dfrac{25}{4}$ ; b) $\dfrac{57}{4}$ unités d'aire ; c) $f$ change de signe

Barème de cet exercice

a : Primitive $F(x) = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2$ (1 point)
a : $F(3) - F(-2) = \dfrac{25}{4}$ (1 point)
b : Factoriser $f(x) = x(x - 2)(x + 2)$ et donner les zéros $-2$ , $0$ et $2$ (1 point)
b : Tableau de signes : $f \geq 0$ sur $[-2 ; 0]$ , $f \leq 0$ sur $[0 ; 2]$ , $f \geq 0$ sur $[2 ; 3]$ (1 point)
b : Écrire l'aire $= \displaystyle\int_{-2}^{0} f - \int_{0}^{2} f + \int_{2}^{3} f$ (1 point)
b : Calculer $4 + 4 + \dfrac{25}{4}$ (1 point)
b : Résultat $\dfrac{57}{4}$ unités d'aire (1 point)
c : Une intégrale est une aire algébrique (les parties sous l'axe comptent négativement) ; une aire est toujours positive (1 point)

Exercice 10

Dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre, le plan d'un massif de fleurs est limité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2 - 4x + 5$ et $g(x) = -x^2 + 2x + 5$ .

Calculer l'aire du massif en mètres carrés. Justifier chaque étape.

Voir la correction

Points d'intersection
$f(x) = g(x) \iff x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 2x + 5 \iff 2x^2 - 6x = 0 \iff 2x(x - 3) = 0$ . Les courbes se coupent aux points d'abscisses $x = 0$ et $x = 3$ .
Position relative
$g(x) - f(x) = -2x^2 + 6x = -2x(x - 3)$ est positif sur $[0 ; 3]$ (entre les racines, le coefficient de $x^2$ étant négatif) : la courbe de $g$ est au-dessus de celle de $f$ .
Calcul de l'aire
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^3 \big(g(x) - f(x)\big)\,dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx = \left[-\dfrac{2x^3}{3} + 3x^2\right]_0^3 = (-18 + 27) - 0 = 9$ .
Conclusion
L'aire du massif est de $9\ \text{m}^2$ (valeur positive, d'un ordre de grandeur cohérent avec un rectangle de $3\ \text{m}$ de large et de $3\ \text{m}$ de haut au maximum).

$9\ \text{m}^2$

Barème de cet exercice

Chercher les abscisses des points d'intersection : $f(x) = g(x) \iff 2x^2 - 6x = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 3$ (2 points)
Déterminer, en le justifiant, quelle courbe est au-dessus sur $[0 ; 3]$ ( $g(x) - f(x) = -2x^2 + 6x \geq 0$ ) (1 point)
Écrire l'aire $= \displaystyle\int_0^3 \big(g(x) - f(x)\big)\,dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx$ (1 point)
Calculer une primitive $-\dfrac{2x^3}{3} + 3x^2$ (1 point)
Évaluer : $(-18 + 27) - 0 = 9$ (1 point)
Conclure avec l'unité : $9\ \text{m}^2$ (1 point)

Exercice 11

Dans un repère orthonormé, on fait tourner autour de l'axe des abscisses une surface plane ; on obtient un solide de révolution. L'unité de longueur est le décimètre.

a.
La surface est limitée par la courbe d'équation $y = x^2$ , l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ . Calculer le volume du solide obtenu (valeur exacte).
$\pi \int_0^2 (x^2)^2\,dx$
b.
La surface est maintenant limitée par les courbes d'équations $y = x$ et $y = x^2$ . Calculer le volume du solide creux obtenu (valeur exacte).
$\pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx$

Voir la correction

Formule
Le solide engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la surface sous la courbe de $f \geq 0$ entre $x = a$ et $x = b$ a pour volume $V = \pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (somme, à la limite, de volumes de cylindres de rayon $f(x)$ et de hauteur $dx$ ).
a) Solide plein
$V = \pi \displaystyle\int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi \int_0^2 x^4\,dx = \pi \left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2 = \dfrac{32\pi}{5}$ dm $^3$ (environ $20{,}11$ dm $^3$ ).
b) Solide creux : intersections
$x = x^2 \iff x(x - 1) = 0$ : les courbes se coupent en $x = 0$ et en $x = 1$ . Sur $[0 ; 1]$ , $x \geq x^2$ : la droite est la frontière extérieure et la parabole la frontière intérieure.
b) Solide creux : volume
$V = \pi \displaystyle\int_0^1 \left(x^2 - (x^2)^2\right)dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{15}$ dm $^3$ (environ $0{,}42$ dm $^3$ ).

a) $\dfrac{32\pi}{5}\ \text{dm}^3$ ; b) $\dfrac{2\pi}{15}\ \text{dm}^3$

Barème de cet exercice

a : Écrire $V = \pi \displaystyle\int_0^2 \big(x^2\big)^2\,dx = \pi \int_0^2 x^4\,dx$ (1 point)
a : Primitive $\dfrac{x^5}{5}$ (1 point)
a : $V = \dfrac{32\pi}{5}$ dm $^3$ (1 point)
b : Trouver les points d'intersection : $x = 0$ et $x = 1$ (1 point)
b : Identifier la courbe extérieure ( $y = x \geq x^2$ sur $[0 ; 1]$ ) : $V = \pi \displaystyle\int_0^1 \big(x^2 - x^4\big)\,dx$ (1 point)
b : Primitive $\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}$ (1 point)
b : $V = \pi\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{15}$ dm $^3$ (1 point)

Exercice 12

Un mobile se déplace sur une droite graduée. Sa vitesse $v$ , en mètres par seconde, à l'instant $t$ , en secondes, est donnée par $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ pour $t \in [0 ; 5]$ . Une vitesse négative signifie que le mobile se déplace dans le sens négatif de la droite.

a.
Calculer la variation de position (le déplacement) du mobile entre $t = 0$ et $t = 5$ .
$\int_0^5 (3t^2 - 12t + 9)\,dt$
b.
Calculer la distance totale parcourue par le mobile entre $t = 0$ et $t = 5$ .
$\int_0^5 |3t^2 - 12t + 9|\,dt$
c.
Expliquer pourquoi les résultats des questions a) et b) sont différents.

Voir la correction

a) Déplacement
La vitesse est la dérivée de la position $s$ : $s(5) - s(0) = \displaystyle\int_0^5 v(t)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_0^5 = (125 - 150 + 45) - 0 = 20$ . Le mobile se retrouve $20$ m plus loin dans le sens positif.
b) Signe de la vitesse
$v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t - 1)(t - 3)$ s'annule en $t = 1$ et $t = 3$ ; $v \geq 0$ sur $[0 ; 1]$ , $v \leq 0$ sur $[1 ; 3]$ et $v \geq 0$ sur $[3 ; 5]$ .
b) Distance totale
Avec $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ : $s(0) = 0$ , $s(1) = 4$ , $s(3) = 0$ , $s(5) = 20$ . Distance $= |s(1) - s(0)| + |s(3) - s(1)| + |s(5) - s(3)| = 4 + 4 + 20 = 28$ m.
c) Interprétation
Le mobile avance de $4$ m, recule de $4$ m puis avance de $20$ m : le déplacement est $4 - 4 + 20 = 20$ m, alors que la distance parcourue est $4 + 4 + 20 = 28$ m.

a) $20$ m ; b) $28$ m ; c) le mobile change de sens

Barème de cet exercice

a : Relier la position à la vitesse : variation de position $= \displaystyle\int_0^5 v(t)\,dt$ (1 point)
a : Primitive $t^3 - 6t^2 + 9t$ (1 point)
a : $125 - 150 + 45 = 20$ m (1 point)
b : Factoriser $v(t) = 3(t - 1)(t - 3)$ et étudier son signe : $v \geq 0$ sur $[0 ; 1]$ , $v \leq 0$ sur $[1 ; 3]$ , $v \geq 0$ sur $[3 ; 5]$ (2 points)
b : Écrire la distance $= \displaystyle\int_0^1 v - \int_1^3 v + \int_3^5 v$ (1 point)
b : Calculer $4 + 4 + 20$ (1 point)
b : Conclure : $28$ m (1 point)
c : Le mobile change de sens (en $t = 1$ et $t = 3$ ) : les déplacements dans le sens négatif se retranchent dans a) et s'ajoutent dans b) (1 point)

Exercice 13

Le calcul intégral permet de retrouver des formules classiques de volumes. Dans un repère orthonormé, $R$ et $h$ sont des réels strictement positifs.

a.
Une sphère de rayon $R$ est engendrée par la rotation autour de l'axe des abscisses du demi-disque limité par la courbe d'équation $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ et l'axe des abscisses. Retrouver, par le calcul intégral, la formule du volume de la sphère.
$\int_{-R}^{R}\pi(R^2-x^2)\,dx$
b.
Un cône de rayon de base $R$ et de hauteur $h$ est engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses du triangle limité par la droite d'équation $y = \dfrac{R}{h}x$ , l'axe des abscisses et la droite $x = h$ . Retrouver la formule de son volume.
$\int_0^h\pi(\frac{R}{h}x)^2\,dx$

Voir la correction

a) Sphère
$V = \pi \displaystyle\int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi\left[R^2 x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left[\left(R^3 - \dfrac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \dfrac{R^3}{3}\right)\right] = \pi \cdot \dfrac{4R^3}{3}$ . Le volume de la sphère de rayon $R$ est $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ .
b) Cône
$V = \pi \displaystyle\int_0^h \left(\dfrac{R}{h}x\right)^2 dx = \pi\,\dfrac{R^2}{h^2}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^h = \pi\,\dfrac{R^2}{h^2} \cdot \dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$ . On retrouve la formule du volume d'un cône : un tiers de l'aire de la base par la hauteur.
Contrôle
Un cône de rayon $3$ et de hauteur $6$ est inscrit dans un cylindre de même base et de même hauteur, de volume $\pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi$ : son volume $\dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 6 = 18\pi$ en est bien le tiers.

a) $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ ; b) $\dfrac{1}{3}\pi R^2 h$

Barème de cet exercice

a : Écrire $V = \pi \displaystyle\int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx$ (1 point)
a : Primitive $R^2 x - \dfrac{x^3}{3}$ (1 point)
a : Évaluer entre $-R$ et $R$ : $2R^3 - \dfrac{2R^3}{3}$ (1 point)
a : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ (1 point)
b : Écrire $V = \pi \displaystyle\int_0^h \left(\dfrac{R}{h}x\right)^2 dx = \pi \dfrac{R^2}{h^2}\int_0^h x^2\,dx$ (1 point)
b : Primitive $\dfrac{x^3}{3}$ et évaluation : $\dfrac{h^3}{3}$ (1 point)
b : $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$ (1 point)

Ressources par notion

Fiche de révision

Primitives usuelles

À retenir

Méthode

Exemple expliqué

Intégrale définie

À retenir

Méthode

Exemple expliqué

Aires

À retenir

Méthode

Exemple expliqué

Volumes

À retenir

Méthode

Exemple expliqué

Exercice 1

Barème de cet exercice

Exercice 2

Barème de cet exercice

Exercice 3

Barème de cet exercice

Exercice 4

Barème de cet exercice

Exercice 5

Barème de cet exercice

Exercice 6

Barème de cet exercice

Exercice 7

Barème de cet exercice

Exercice 8

Barème de cet exercice

Exercice 9

Barème de cet exercice

Exercice 10

Barème de cet exercice

Exercice 11

Barème de cet exercice

Exercice 12

Barème de cet exercice

Exercice 13

Barème de cet exercice

Programme et consignes