Fonctions exponentielles et logarithmes

Notion	Cours	Exercices
Fonctions exponentielles et logarithmes	Disponible	4
Équations et inéquations	Disponible	3
Croissance	Disponible	5

exp et ln sont réciproques. ln n'est défini que sur ]0, +∞[. On écrit ln, pas log tout court.

À retenir

Repère 1: dom $\ln = ]0 ; +\infty[$
Repère 2: $\ln(e^x) = x$ , $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$
Repère 3: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^r) = r \ln a$
Repère 4: $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Méthode

CE du logarithme, graphes symétriques par rapport à y = x.
Produit, quotient, puissance. On les justifie avant de les appliquer.
FESeC : formules de dérivation démontrées ; utiles pour l’allure locale.

Exemple expliqué

Simplifier les expressions suivantes en indiquant chaque propriété utilisée.

a). $\ln 12 - \ln 4 = \ln\dfrac{12}{4} = \ln 3$ (quotient), puis $\ln 3 + \ln 5 = \ln(3 \times 5) = \ln 15$ (produit).
b). $2\ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$ (puissance), donc $e^{2\ln 3} = e^{\ln 9} = 9$ car $e^{\ln a} = a$ pour $a > 0$ .
c). $\ln\left(e^3\sqrt{e}\right) = \ln e^3 + \ln e^{1/2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$ , car $\ln e^r = r$ .
d). $e^5 \cdot e^{-2} = e^{5 - 2} = e^3$ , puis $\dfrac{e^3}{e} = e^{3 - 1} = e^2$ .

a) $\ln 15$ ; b) $9$ ; c) $\dfrac{7}{2}$ ; d) $e^2$

Équations et inéquations

On ramène à une même base, ou on passe au ln. Chaque étape se justifie, y compris la CE.

À retenir

Repère 1: $e^A = e^B \iff A = B$
Repère 2: $\ln A = \ln B \iff A = B$ et $A > 0$ , $B > 0$
Repère 3: $a^x = b \iff x = \frac{\ln b}{\ln a}$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$

Méthode

Même base, ou substitution X = e^x.
CE d'abord, puis ln croissant pour les inégalités.

Exemple expliqué

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ .

a) Même base. L'exponentielle est injective : $e^A = e^B \iff A = B$ . Donc $2x - 1 = x + 3$ , d'où $x = 4$ . $S = \{4\}$ .
b) Passage aux logarithmes. Les deux membres sont strictement positifs : on prend le logarithme népérien. $(x + 1)\ln 5 = \ln 2$ , donc $x + 1 = \dfrac{\ln 2}{\ln 5}$ et $x = \dfrac{\ln 2}{\ln 5} - 1 \approx 0{,}43 - 1 = -0{,}57$ .
c) Équation du second degré en $e^x$ . $e^{2x} = (e^x)^2$ . On pose $y = e^x$ (avec $y > 0$ ) : $y^2 - 5y + 6 = 0$ , soit $(y - 2)(y - 3) = 0$ , donc $y = 2$ ou $y = 3$ , deux valeurs strictement positives. Alors $e^x = 2$ ou $e^x = 3$ , d'où $x = \ln 2$ ou $x = \ln 3$ . $S = \{\ln 2 ; \ln 3\}$ .

a) $x = 4$ ; b) $x = \dfrac{\ln 2}{\ln 5} - 1$ ; c) $S = \{\ln 2 ; \ln 3\}$

Croissance

On compare la croissance de l'exponentielle, du logarithme et des puissances. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, le logarithme est plus lent.

À retenir

Repère 1: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
Repère 2: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour $n > 0$
Repère 3: $a > 1$ : $x \mapsto a^x$ croissante ; $0 < a < 1$ : décroissante
Repère 4: $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
Repère 5: $e^{-x^2}$ (cloche)

Méthode

Exponentielle vs logarithme vs puissance ; taux de croissance constant sur intervalles égaux.
FESeC : étude de x ↦ e^{−x²}, utile pour la loi normale.
Plusieurs approches : (eˣ)′ = eˣ, lim (1+1/n)ⁿ, ou via une intégrale.

Exemple expliqué

Calculer les limites suivantes en justifiant (croissances comparées ou règle de l'Hospital).

a). $x\,e^{-x} = \dfrac{x}{e^x}$ est de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . L'exponentielle croît plus vite que toute puissance de $x$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = 0$ .
b). Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . La règle de l'Hospital s'applique (fonctions dérivables, $(x^2)' = 2x \neq 0$ au voisinage de $+\infty$ ) : $\lim \dfrac{(\ln x)'}{(x^2)'} = \lim \dfrac{1/x}{2x} = \lim \dfrac{1}{2x^2} = 0$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0$ .
c). Forme $0 \cdot (-\infty)$ . On écrit $x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$ , de la forme $\dfrac{-\infty}{+\infty}$ ; par la règle de l'Hospital, $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ .
d). Forme $\dfrac{0}{0}$ . Les fonctions $x \mapsto e^{3x} - 1$ et $x \mapsto x$ sont dérivables et la dérivée du dénominateur ne s'annule pas : $\lim_{x \to 0} \dfrac{3e^{3x}}{1} = 3$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ (c'est le nombre dérivé de $e^{3x}$ en $0$ ).

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $3$

Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes en indiquant chaque propriété utilisée.

a.
$\ln 12 - \ln 4 + \ln 5$ (écrire le résultat sous la forme $\ln$ d'un seul nombre)
$\ln 12 - \ln 4 + \ln 5$
b.
$e^{2\ln 3}$
$e^{2\ln 3}$
c.
$\ln\left(e^{3}\sqrt{e}\right)$
$\ln\left(e^{3}\sqrt{e}\right)$
d.
$\dfrac{e^{5} \cdot e^{-2}}{e}$
$\frac{e^{5} \cdot e^{-2}}{e}$

Voir la correction

a)
$\ln 12 - \ln 4 = \ln\dfrac{12}{4} = \ln 3$ (quotient), puis $\ln 3 + \ln 5 = \ln(3 \times 5) = \ln 15$ (produit).
b)
$2\ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$ (puissance), donc $e^{2\ln 3} = e^{\ln 9} = 9$ car $e^{\ln a} = a$ pour $a > 0$ .
c)
$\ln\left(e^3\sqrt{e}\right) = \ln e^3 + \ln e^{1/2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$ , car $\ln e^r = r$ .
d)
$e^5 \cdot e^{-2} = e^{5 - 2} = e^3$ , puis $\dfrac{e^3}{e} = e^{3 - 1} = e^2$ .

a) $\ln 15$ ; b) $9$ ; c) $\dfrac{7}{2}$ ; d) $e^2$

Barème de cet exercice

a : Propriété du quotient : $\ln 12 - \ln 4 = \ln 3$ (1 point)
a : Propriété du produit : $\ln 3 + \ln 5 = \ln 15$ (1 point)
b : Propriété de la puissance : $2\ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$ (1 point)
b : Réciprocité : $e^{\ln 9} = 9$ (1 point)
c : Propriété du produit et de la puissance : $\ln e^3 + \ln e^{1/2}$ (1 point)
c : $3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$ (1 point)
d : Propriétés des puissances : $e^5 \cdot e^{-2} = e^{3}$ (1 point)
d : $\dfrac{e^3}{e^1} = e^2$ (1 point)

Exercice 2

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes. Écrire les conditions d'existence (CE) avant de conclure.

a.
$f(x) = \ln(3x - 6)$
$\ln(3x - 6)$
b.
$g(x) = \ln(x^2 - 4)$
$\ln(x^2 - 4)$
c.
$h(x) = \ln\left(\dfrac{x + 1}{x - 3}\right)$
$\ln\left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)$
d.
$k(x) = \dfrac{1}{\ln x}$
$\frac{1}{\ln x}$

Voir la correction

a)
CE : $3x - 6 > 0 \iff x > 2$ . $\text{dom } f = ]2 ; +\infty[$ .
b)
CE : $x^2 - 4 > 0$ , soit $(x - 2)(x + 2) > 0$ . Tableau de signes : le produit est positif si $x < -2$ ou si $x > 2$ . $\text{dom } g = ]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[$ .
c)
CE : $x - 3 \neq 0$ et $\dfrac{x + 1}{x - 3} > 0$ . Le quotient a le signe du produit $(x + 1)(x - 3)$ : il est positif si $x < -1$ ou si $x > 3$ (et $x = 3$ est exclu). $\text{dom } h = ]-\infty ; -1[ \cup ]3 ; +\infty[$ .
d)
CE : $x > 0$ (pour $\ln x$ ) et $\ln x \neq 0$ (dénominateur), c'est-à-dire $x \neq 1$ . $\text{dom } k = ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$ .

a) $]2 ; +\infty[$ ; b) $]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[$ ; c) $]-\infty ; -1[ \cup ]3 ; +\infty[$ ; d) $]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$

Barème de cet exercice

a : CE : $3x - 6 > 0$ (1 point)
a : $\text{dom } f = ]2 ; +\infty[$ (1 point)
b : CE : $x^2 - 4 > 0$ et tableau de signes ou factorisation $(x - 2)(x + 2) > 0$ (1 point)
b : $\text{dom } g = ]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[$ (1 point)
c : CE : $\dfrac{x + 1}{x - 3} > 0$ (dénominateur non nul et quotient positif), tableau de signes (1 point)
c : $\text{dom } h = ]-\infty ; -1[ \cup ]3 ; +\infty[$ (1 point)
d : CE : $x > 0$ pour $\ln x$ et $\ln x \neq 0$ pour le quotient (1 point)
d : $\ln x = 0 \iff x = 1$ : $\text{dom } k = ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$ (1 point)

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ .

a.
$e^{2x - 1} = e^{x + 3}$
$e^{2x - 1} = e^{x + 3}$
b.
$5^{x + 1} = 2$ (donner la valeur exacte)
$5^{x + 1} = 2$
c.
$e^{2x} - 5e^{x} + 6 = 0$
$e^{2x} - 5e^{x} + 6 = 0$

Voir la correction

a) Même base
L'exponentielle est injective : $e^A = e^B \iff A = B$ . Donc $2x - 1 = x + 3$ , d'où $x = 4$ . $S = \{4\}$ .
b) Passage aux logarithmes
Les deux membres sont strictement positifs : on prend le logarithme népérien. $(x + 1)\ln 5 = \ln 2$ , donc $x + 1 = \dfrac{\ln 2}{\ln 5}$ et $x = \dfrac{\ln 2}{\ln 5} - 1 \approx 0{,}43 - 1 = -0{,}57$ .
c) Équation du second degré en $e^x$
$e^{2x} = (e^x)^2$ . On pose $y = e^x$ (avec $y > 0$ ) : $y^2 - 5y + 6 = 0$ , soit $(y - 2)(y - 3) = 0$ , donc $y = 2$ ou $y = 3$ , deux valeurs strictement positives. Alors $e^x = 2$ ou $e^x = 3$ , d'où $x = \ln 2$ ou $x = \ln 3$ . $S = \{\ln 2 ; \ln 3\}$ .

a) $x = 4$ ; b) $x = \dfrac{\ln 2}{\ln 5} - 1$ ; c) $S = \{\ln 2 ; \ln 3\}$

Barème de cet exercice

a : Utiliser l'injectivité de l'exponentielle : $2x - 1 = x + 3$ (1 point)
a : $x = 4$ (1 point)
b : Passer aux logarithmes : $(x + 1)\ln 5 = \ln 2$ (1 point)
b : Isoler $x + 1 = \dfrac{\ln 2}{\ln 5}$ (1 point)
b : $x = \dfrac{\ln 2}{\ln 5} - 1 \approx -0{,}57$ (1 point)
c : Poser $y = e^x$ avec $y > 0$ : $y^2 - 5y + 6 = 0$ (1 point)
c : Résoudre : $y = 2$ ou $y = 3$ (deux valeurs positives) (1 point)
c : Revenir à $x$ : $e^x = 2$ ou $e^x = 3$ (1 point)
c : $S = \{\ln 2 ; \ln 3\}$ (1 point)

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ . Écrire les conditions d'existence (CE) et justifier chaque étape.

a.
$\ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4$
$\ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4$
b.
$\log_2(3x - 1) = 5$
$\log_2(3x - 1) = 5$
c.
$\ln(x^2 - 3x) = \ln 4$
$\ln(x^2 - 3x) = \ln 4$

Voir la correction

a) CE et transformation
CE : $x - 1 > 0$ et $x + 2 > 0$ , donc $x > 1$ . Comme $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ , l'équation s'écrit $\ln\big((x - 1)(x + 2)\big) = \ln 4$ , ce qui équivaut, $\ln$ étant injective, à $(x - 1)(x + 2) = 4$ , soit $x^2 + x - 6 = 0$ , dont les racines sont $x = 2$ et $x = -3$ .
a) Conclusion
$-3$ ne vérifie pas la CE ( $x > 1$ ) : on le rejette. $S = \{2\}$ .
b) Logarithme de base 2
CE : $3x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{3}$ . $\log_2(3x - 1) = 5 \iff 3x - 1 = 2^5 = 32 \iff x = 11$ . $11 > \dfrac{1}{3}$ : $S = \{11\}$ .
c) Égalité des arguments
CE : $x^2 - 3x = x(x - 3) > 0 \iff x < 0$ ou $x > 3$ . Alors $x^2 - 3x = 4 \iff x^2 - 3x - 4 = 0 \iff (x + 1)(x - 4) = 0$ , donc $x = -1$ ou $x = 4$ . Comme $-1 < 0$ et $4 > 3$ , les deux valeurs respectent la CE : $S = \{-1 ; 4\}$ .

a) $S = \{2\}$ ; b) $S = \{11\}$ ; c) $S = \{-1 ; 4\}$

Barème de cet exercice

a : CE : $x - 1 > 0$ et $x + 2 > 0$ , donc $x > 1$ (1 point)
a : Regrouper : $\ln\big((x - 1)(x + 2)\big) = \ln 4$ puis $(x - 1)(x + 2) = 4$ (1 point)
a : Résoudre $x^2 + x - 6 = 0$ : $x = 2$ ou $x = -3$ (1 point)
a : Rejeter $-3$ (CE) : $S = \{2\}$ (1 point)
b : CE : $3x - 1 > 0$ , soit $x > \dfrac{1}{3}$ (1 point)
b : Définition du logarithme de base 2 : $3x - 1 = 2^5 = 32$ (1 point)
b : $x = 11$ , qui vérifie la CE : $S = \{11\}$ (1 point)
c : CE : $x^2 - 3x > 0$ , soit $x < 0$ ou $x > 3$ (1 point)
c : Égaler les arguments : $x^2 - 3x - 4 = 0$ , donc $x = -1$ ou $x = 4$ (1 point)
c : Contrôler les deux valeurs avec la CE : $S = \{-1 ; 4\}$ (1 point)

Exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ . Justifier chaque étape.

a.
$e^{2x} \geq 5$
$e^{2x} \geq 5$
b.
$\ln(2x - 3) < 1$
$\ln(2x - 3) < 1$
c.
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} > 8$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} > 8$

Voir la correction

a)
$e^{2x} \geq 5$ : les deux membres sont positifs et $\ln$ est croissante, donc $2x \geq \ln 5$ , soit $x \geq \dfrac{\ln 5}{2} \approx 0{,}80$ . $S = \left[\dfrac{\ln 5}{2} ; +\infty\right[$ .
b)
CE : $2x - 3 > 0 \iff x > \dfrac{3}{2}$ . Comme $x \mapsto e^x$ est croissante, $\ln(2x - 3) < 1 \iff 2x - 3 < e^1 \iff x < \dfrac{3 + e}{2} \approx 2{,}86$ . En tenant compte de la CE : $S = \left]\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3 + e}{2}\right[$ .
c)
$8 = 2^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$ . La base $\dfrac{1}{2}$ est comprise entre $0$ et $1$ : $x \mapsto \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ est décroissante, donc $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} \iff x < -3$ . $S = ]-\infty ; -3[$ .

a) $\left[\dfrac{\ln 5}{2} ; +\infty\right[$ ; b) $\left]\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3 + e}{2}\right[$ ; c) $]-\infty ; -3[$

Barème de cet exercice

a : Appliquer $\ln$ , fonction croissante, aux deux membres positifs : $2x \geq \ln 5$ (1 point)
a : $x \geq \dfrac{\ln 5}{2}$ (1 point)
a : $S = \left[\dfrac{\ln 5}{2} ; +\infty\right[$ (1 point)
b : CE : $2x - 3 > 0$ , soit $x > \dfrac{3}{2}$ (1 point)
b : Appliquer l'exponentielle (croissante) : $2x - 3 < e$ (1 point)
b : $x < \dfrac{3 + e}{2}$ (1 point)
b : Croiser avec la CE : $S = \left]\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3 + e}{2}\right[$ (1 point)
c : Écrire $8 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$ (1 point)
c : Fonction exponentielle de base $\dfrac{1}{2} < 1$ : décroissante, le sens de l'inégalité change (1 point)
c : $x < -3$ , $S = ]-\infty ; -3[$ (1 point)

Exercice 6

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes et simplifier le résultat.

a.
$f(x) = x^2 e^{-x}$
$x^2 e^{-x}$
b.
$g(x) = \ln(x^2 + 1)$
$\ln(x^2 + 1)$
c.
$h(x) = \dfrac{e^x}{x}$ sur $\mathbb{R}_0$
$\frac{e^x}{x}$
d.
$k(x) = (e^{2x} + 1)^3$
$(e^{2x} + 1)^3$

Voir la correction

a) Produit
$f = u\,v$ avec $u = x^2$ et $v = e^{-x}$ : $f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x}$ .
b) Composée avec $\ln$
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$ : $g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .
c) Quotient
$h'(x) = \dfrac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \dfrac{e^x x - e^x}{x^2} = \dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}$ .
d) Composée de trois fonctions
$k = u^3$ avec $u = e^{2x} + 1$ et $u' = 2e^{2x}$ : $k'(x) = 3u^2 u' = 3(e^{2x} + 1)^2 \cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}(e^{2x} + 1)^2$ .

a) $(2x - x^2)e^{-x}$ ; b) $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; c) $\dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}$ ; d) $6e^{2x}(e^{2x} + 1)^2$

Barème de cet exercice

a : Dérivée d'un produit : $2x\,e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$ (1 point)
a : $f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}$ (1 point)
b : Dérivée de $\ln u$ : $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1$ (1 point)
b : $g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ (1 point)
c : Dérivée d'un quotient : $\dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$ (1 point)
c : $h'(x) = \dfrac{e^x (x - 1)}{x^2}$ (1 point)
d : Dérivée d'une puissance composée : $3(e^{2x} + 1)^2 \cdot u'$ (1 point)
d : $u' = 2e^{2x}$ , donc $k'(x) = 6e^{2x}(e^{2x} + 1)^2$ (1 point)

Exercice 7

Calculer les limites suivantes en justifiant (croissances comparées ou règle de l'Hospital).

a.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x}$
$\lim_{x \to +\infty} x e^{-x}$
b.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2}$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2}$
c.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$
d.
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$

Voir la correction

a)
$x\,e^{-x} = \dfrac{x}{e^x}$ est de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . L'exponentielle croît plus vite que toute puissance de $x$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = 0$ .
b)
Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . La règle de l'Hospital s'applique (fonctions dérivables, $(x^2)' = 2x \neq 0$ au voisinage de $+\infty$ ) : $\lim \dfrac{(\ln x)'}{(x^2)'} = \lim \dfrac{1/x}{2x} = \lim \dfrac{1}{2x^2} = 0$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0$ .
c)
Forme $0 \cdot (-\infty)$ . On écrit $x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$ , de la forme $\dfrac{-\infty}{+\infty}$ ; par la règle de l'Hospital, $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ .
d)
Forme $\dfrac{0}{0}$ . Les fonctions $x \mapsto e^{3x} - 1$ et $x \mapsto x$ sont dérivables et la dérivée du dénominateur ne s'annule pas : $\lim_{x \to 0} \dfrac{3e^{3x}}{1} = 3$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ (c'est le nombre dérivé de $e^{3x}$ en $0$ ).

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $3$

Barème de cet exercice

a : Écrire $x\,e^{-x} = \dfrac{x}{e^x}$ (indétermination $\dfrac{\infty}{\infty}$ ) (1 point)
a : Croissance de l'exponentielle plus rapide que celle de $x$ : limite $0$ (1 point)
b : Reconnaître l'indétermination $\dfrac{\infty}{\infty}$ (1 point)
b : Comparer les croissances (ou Hospital : $\dfrac{1/x}{2x} = \dfrac{1}{2x^2} \to 0$ ) : limite $0$ (1 point)
c : Reconnaître l'indétermination $0 \cdot (-\infty)$ et écrire $x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$ (type $\dfrac{\infty}{\infty}$ ) (1 point)
c : Appliquer la règle de l'Hospital : $\dfrac{1/x}{-1/x^2} = -x$ (1 point)
c : Limite $0$ (1 point)
d : Reconnaître l'indétermination $\dfrac{0}{0}$ et vérifier les hypothèses de l'Hospital (fonctions dérivables, dénominateur de dérivée non nul) (1 point)
d : Dériver numérateur et dénominateur : $\dfrac{3e^{3x}}{1}$ (1 point)
d : Limite $3$ (1 point)

Exercice 8

Le carbone 14 est un isotope radioactif dont la quantité dans un échantillon diminue au cours du temps : elle est divisée par 2 tous les 5 730 ans (demi-vie). La quantité $N(t)$ présente au bout de $t$ années dans un échantillon qui en contenait $N_0$ au départ est $N(t) = N_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5730}$ .

Un fragment de bois ancien contient 30 % du carbone 14 qu'il contenait à l'origine. Estimer son âge en années (arrondir à l'unité).

Voir la correction

Mise en équation
On cherche $t$ tel que $N(t) = 0{,}3\,N_0$ , c'est-à-dire $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}3$ (on divise par $N_0 > 0$ ).
Logarithmes
Les deux membres sont strictement positifs : $\dfrac{t}{5730}\,\ln\dfrac{1}{2} = \ln 0{,}3$ . Comme $\ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 < 0$ , $t = 5730 \times \dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}5}$ .
Calcul et conclusion
$\dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}5} \approx \dfrac{-1{,}2040}{-0{,}6931} \approx 1{,}7370$ , donc $t \approx 5730 \times 1{,}7370 \approx 9\,953$ . Le fragment de bois a environ $9\,953$ ans. Plausibilité : $30\ \%$ est entre $50\ \%$ (une demi-vie, $5\,730$ ans) et $25\ \%$ (deux demi-vies, $11\,460$ ans).

$\approx 9\,953$ ans

Barème de cet exercice

Traduire : $N(t) = 0{,}3\,N_0$ , soit $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}3$ (1 point)
Passer aux logarithmes : $\dfrac{t}{5730}\ln\dfrac{1}{2} = \ln 0{,}3$ (1 point)
Isoler $t = 5730\,\dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}5}$ (1 point)
Calculer $t \approx 9\,953$ ans (1 point)
Conclure par une phrase avec l'unité (1 point)

Exercice 9

Pour étudier la croissance d'une culture de bactéries, on note le nombre $N$ de bactéries (en milliers) à l'instant $t$ (en heures) et on représente les mesures dans un repère semi-logarithmique : en abscisse le temps $t$ , en ordonnée $\log N$ (logarithme décimal de $N$ ). Les points obtenus sont alignés sur la droite qui passe par les points de coordonnées $(0 ; 2)$ et $(6 ; 3{,}2)$ dans ce repère.

a.
Déterminer l'équation de cette droite, puis en déduire l'expression de $N(t)$ sous la forme $N(t) = N_0 \cdot 10^{kt}$ .
$\log N = 0{,}2 t + 2$
b.
Calculer le nombre de bactéries (en milliers) au bout de 10 heures.
$100 \cdot 10^{0{,}2 \cdot 10}$
c.
Calculer le temps de doublement de la population, en heures (arrondir au centième).
$\frac{\log 2}{0{,}2}$

Voir la correction

a) Équation de la droite
Coefficient directeur : $\dfrac{3{,}2 - 2}{6 - 0} = \dfrac{1{,}2}{6} = 0{,}2$ ; ordonnée à l'origine : $2$ . Donc $\log N = 0{,}2\,t + 2$ . Par définition du logarithme décimal, $N = 10^{0{,}2t + 2} = 10^2 \cdot 10^{0{,}2 t}$ , soit $N(t) = 100 \cdot 10^{0{,}2 t}$ (croissance exponentielle : $N(t) = 100 \cdot (10^{0{,}2})^t \approx 100 \cdot 1{,}58^t$ ).
b) Après 10 heures
$\log N(10) = 0{,}2 \times 10 + 2 = 4$ , donc $N(10) = 10^4 = 10\,000$ milliers de bactéries.
c) Temps de doublement
Le temps de doublement $T$ vérifie $N(t + T) = 2N(t)$ , soit $10^{0{,}2 T} = 2$ . En prenant le logarithme décimal : $0{,}2\,T = \log 2 \approx 0{,}3010$ , donc $T = \dfrac{0{,}3010}{0{,}2} \approx 1{,}51$ heure, indépendante de $t$ .

a) $N(t) = 100 \cdot 10^{0{,}2t}$ ; b) $10\,000$ milliers ; c) $\approx 1{,}51$ h

Barème de cet exercice

a : Coefficient directeur $\dfrac{3{,}2 - 2}{6 - 0} = 0{,}2$ et ordonnée à l'origine $2$ : $\log N = 0{,}2\,t + 2$ (1 point)
a : Revenir à $N$ : $N = 10^{0{,}2 t + 2}$ (1 point)
a : $N(t) = 100 \cdot 10^{0{,}2 t}$ (1 point)
b : $\log N(10) = 0{,}2 \times 10 + 2 = 4$ (1 point)
b : $N(10) = 10^4 = 10\,000$ milliers (1 point)
c : Écrire $N(t + T) = 2\,N(t)$ , soit $10^{0{,}2 T} = 2$ (1 point)
c : Passer au $\log$ : $0{,}2\,T = \log 2$ (1 point)
c : $T = \dfrac{\log 2}{0{,}2} \approx 1{,}51$ h (1 point)

Exercice 10

Le niveau sonore $L$ , en décibels (dB), d'un son d'intensité $I$ (en W/m $^2$ ) est donné par $L = 10\,\log\dfrac{I}{I_0}$ , où $\log$ désigne le logarithme décimal et $I_0 = 10^{-12}$ W/m $^2$ est l'intensité du son le plus faible perceptible. Lorsque plusieurs sources identiques jouent ensemble, leurs intensités s'additionnent.

a.
Un instrument de musique produit un son de 60 dB. Calculer son intensité $I$ .
$10 \log\frac{I}{10^{-12}} = 60$
b.
Deux de ces instruments jouent en même temps. Calculer le niveau sonore obtenu (arrondir au centième).
$10 \log(2 \cdot 10^{6})$
c.
Combien d'instruments identiques faut-il faire jouer ensemble pour atteindre 80 dB ?
$10 \log(n \cdot 10^6) = 80$

Voir la correction

a) Intensité d'un instrument
$L = 60 \iff \log\dfrac{I}{I_0} = 6 \iff \dfrac{I}{I_0} = 10^6 \iff I = 10^6 \times 10^{-12} = 10^{-6}$ W/m $^2$ .
b) Deux instruments
Les intensités s'additionnent : $I = 2 \times 10^{-6}$ W/m $^2$ . $L = 10\,\log\dfrac{2 \times 10^{-6}}{10^{-12}} = 10\,\log(2 \times 10^6) = 10\,(\log 2 + 6) = 60 + 10\,\log 2 \approx 60 + 3{,}01 = 63{,}01$ dB. Deux instruments de 60 dB ne produisent pas $120$ dB mais seulement environ $63$ dB : le niveau sonore n'est pas proportionnel à l'intensité.
c) Nombre d'instruments
Avec $n$ instruments, $I = n \times 10^{-6}$ et $L = 10\,\log(n \times 10^6) = 60 + 10\,\log n$ . $L = 80 \iff 10\,\log n = 20 \iff \log n = 2 \iff n = 10^2 = 100$ . Il faut $100$ instruments.

a) $10^{-6}$ W/m $^2$ ; b) $63{,}01$ dB ; c) $100$ instruments

Barème de cet exercice

a : Résoudre $10\,\log\dfrac{I}{I_0} = 60$ , soit $\dfrac{I}{I_0} = 10^6$ (1 point)
a : $I = 10^6 \times 10^{-12} = 10^{-6}$ W/m $^2$ (1 point)
b : Additionner les intensités : $2 \times 10^{-6}$ W/m $^2$ (1 point)
b : $L = 10\,\log(2 \times 10^6)$ (1 point)
b : $L = 60 + 10\,\log 2 \approx 63{,}01$ dB (et non $120$ dB) (1 point)
c : Écrire $L = 10\,\log(n \times 10^6) = 80$ (1 point)
c : Simplifier : $60 + 10\,\log n = 80$ , donc $\log n = 2$ (1 point)
c : $n = 10^2 = 100$ instruments (1 point)

Exercice 11

La concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang, $t$ heures après son injection, est donnée par la fonction $C(t) = 12\,t\,e^{-0{,}5t}$ , où $t \in [0 ; 10]$ .

a.
Calculer $C'(t)$ et le mettre sous forme factorisée.
$(12 t e^{-0{,}5t})'$
b.
Dresser le tableau de signes de $C'(t)$ , puis le tableau de variation de $C$ sur $[0 ; 10]$ .
c.
À quel instant la concentration est-elle maximale ?
$12(1-0{,}5t)e^{-0{,}5t}=0$
d.
Quelle est la valeur de cette concentration maximale (arrondir au centième) ?
$12 \cdot 2 \cdot e^{-1}$

Voir la correction

a) Dérivée
$C(t) = 12\,t \cdot e^{-0{,}5t}$ est un produit : $C'(t) = 12\,e^{-0{,}5t} + 12\,t\,(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} = 12\,e^{-0{,}5t}(1 - 0{,}5t)$ .
b) Tableau de signes et de variation
Pour tout $t$ , $12\,e^{-0{,}5t} > 0$ : $C'(t)$ a le signe de $1 - 0{,}5t$ , qui s'annule en $t = 2$ . Tableau : sur $[0 ; 2[$ , $C'(t) > 0$ ; en $t = 2$ , $C'(t) = 0$ ; sur $]2 ; 10]$ , $C'(t) < 0$ . Donc $C$ est croissante sur $[0 ; 2]$ (de $C(0) = 0$ à $C(2) = \dfrac{24}{e} \approx 8{,}83$ ) puis décroissante sur $[2 ; 10]$ (jusqu'à $C(10) = 120\,e^{-5} \approx 0{,}81$ ).
c) Instant du maximum
Le signe de $C'$ passe de $+$ à $-$ en $t = 2$ : le maximum est atteint $2$ heures après l'injection.
d) Concentration maximale
$C(2) = 12 \times 2 \times e^{-1} = \dfrac{24}{e} \approx 8{,}83$ mg/L.

a) $C'(t) = 12(1 - 0{,}5t)e^{-0{,}5t}$ ; b) $C$ croît sur $[0 ; 2]$ , décroît sur $[2 ; 10]$ ; c) $t = 2$ h ; d) $\dfrac{24}{e} \approx 8{,}83$ mg/L

Barème de cet exercice

a : Dérivée d'un produit : $12\,e^{-0{,}5t} + 12\,t \cdot (-0{,}5)\,e^{-0{,}5t}$ (1 point)
a : Mise en évidence : $C'(t) = 12\,(1 - 0{,}5t)\,e^{-0{,}5t}$ (1 point)
b : Signe de $C'$ : $e^{-0{,}5t} > 0$ et $1 - 0{,}5t$ s'annule en $t = 2$ : $C' > 0$ sur $[0 ; 2[$ , $C' < 0$ sur $]2 ; 10]$ (1 point)
b : Tableau de variation : $C$ croissante sur $[0 ; 2]$ , décroissante sur $[2 ; 10]$ (1 point)
b : Valeurs aux bornes et à l'extremum : $C(0) = 0$ , $C(2) = \dfrac{24}{e}$ , $C(10) = 120\,e^{-5}$ (1 point)
c : $t = 2$ heures (changement de signe de $C'$ ) (1 point)
d : $C(2) = 12 \times 2 \times e^{-1} = \dfrac{24}{e}$ (1 point)
d : $\approx 8{,}83$ mg/L (1 point)

Exercice 12

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ .

a.
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} ; \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$
b.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$ .
c.
Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son maximum, et quelle est sa valeur ?
$f'(x) = 0$
d.
Comparer les nombres $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$ (sans calculatrice) en utilisant les variations de $f$ .
$e^{\pi} \text{ et } \pi^{e}$

Voir la correction

a) Limites
En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x} \to +\infty$ , donc $f(x) = \ln x \cdot \dfrac{1}{x} \to -\infty$ : la droite $x = 0$ est asymptote verticale. En $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ (le logarithme croît moins vite que $x$ ) : la droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .
b) Dérivée et variations
$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ . Comme $x^2 > 0$ , le signe de $f'$ est celui de $1 - \ln x$ : $1 - \ln x > 0 \iff x < e$ . Tableau : $f' > 0$ sur $]0 ; e[$ , $f'(e) = 0$ , $f' < 0$ sur $]e ; +\infty[$ . Donc $f$ croît de $-\infty$ jusqu'à $f(e)$ puis décroît vers $0$ .
c) Maximum
$f$ atteint son maximum en $x = e$ , et $f(e) = \dfrac{\ln e}{e} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37$ .
d) Application
On a $e < \pi$ et $f$ est strictement décroissante sur $[e ; +\infty[$ , donc $f(\pi) < f(e)$ , soit $\dfrac{\ln \pi}{\pi} < \dfrac{1}{e}$ . En multipliant par $e\pi > 0$ : $e\,\ln \pi < \pi$ , c'est-à-dire $\ln\left(\pi^{e}\right) < \pi = \ln\left(e^{\pi}\right)$ . Comme $\ln$ est strictement croissante, $\pi^{e} < e^{\pi}$ .

a) $-\infty$ et $0$ ; b) $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ , maximum en $x = e$ ; c) $f(e) = \dfrac{1}{e}$ ; d) $\pi^{e} < e^{\pi}$

Barème de cet exercice

a : En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x} \to +\infty$ , donc $f(x) \to -\infty$ (1 point)
a : En $+\infty$ : croissances comparées, $f(x) \to 0$ (1 point)
a : Asymptotes : $x = 0$ (verticale) et $y = 0$ (horizontale en $+\infty$ ) (1 point)
b : Dérivée d'un quotient : $f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ (1 point)
b : Signe de $f'$ : celui de $1 - \ln x$ , nul en $x = e$ ; $f' > 0$ sur $]0 ; e[$ et $f' < 0$ sur $]e ; +\infty[$ (1 point)
b : Tableau de variation : $f$ croissante puis décroissante (1 point)
b : Maximum $f(e) = \dfrac{1}{e}$ (1 point)
c : Maximum en $x = e$ et $f(e) = \dfrac{1}{e}$ (1 point)
d : Comme $e < \pi$ et $f$ décroissante sur $[e ; +\infty[$ , $f(\pi) < f(e)$ (1 point)
d : Traduire : $\dfrac{\ln \pi}{\pi} < \dfrac{1}{e}$ , donc $e\,\ln \pi < \pi$ (1 point)
d : En composant avec l'exponentielle (croissante) : $\pi^e < e^{\pi}$ (1 point)

Fonctions exponentielles et logarithmes

Ressources par notion

Fiche de révision